Trapecio isósceles

Cabe recordar que un trapecio es un cuadrilátero (polígono de cuatro lados) caracterizado por tener dos lados denominados bases. Estos son paralelos (no se cruzan, ni aunque sean prolongados) y de diferente longitud. Asimismo, sus otros dos lados no son paralelos.

El trapecio isósceles es uno de los tres tipos de trapecio, junto con el trapecio rectángulo y el trapecio escaleno.

Entre las características del trapecio isósceles destacan las siguientes:

• En la figura inferior, si el trapecio es isósceles, los lados AB y CD tienen la misma longitud.
• Los dos ángulos interiores, ubicados sobre una misma base, miden lo mismo. Si nos guiamos por la imagen inferior, se cumpliría lo siguiente: α=β y δ=γ.
• Las diagonales de la figura, AC y DB, tienen la misma longitud.
• Los ángulos interiores, que son opuestos, son suplementarios. Es decir, forman un ángulo llano. En la imagen inferior se observaría lo siguiente: α+γ=α+δ=β+δ=β+γ=180º.
• Dos de sus ángulos interiores son agudos (menores de 90º), mientras que los otros dos son obtusos (mayores de 90º). Así, en la figura que mostramos abajo, α y β son obtusos, mientras que δ y γ son agudos.
• Los cuatro ángulos interiores suman 360º.
• El trapecio isósceles es el único tipo de trapecio que puede inscribirse en una circunferencia. Es decir, sus cuatro vértices pueden pasar por el perímetro de un círculo (ver dibujo abajo).
• Tiene un eje de simetría, que sería la línea EF en la imagen inferior. Esta es perpendicular a las bases (forma un ángulo recto o de 90º) y las corta en su punto medio. De ese modo, al trazar dicho eje, el polígono queda dividido en dos partes simétricas. Es decir, cada punto de un lado se corresponde con un punto del otro lado, siendo ambos equidistantes al eje de simetría. Por ejemplo, la distancia entre el punto B y el punto F, es la misma distancia que existe entre el punto F y el punto C.

Para conocer mejor las características de un trapecio isósceles, podemos calcular las siguientes medidas:

• Perímetro: Sumamos la longitud de cada lado de la figura: P=AB+BC+CD+AD.
• Área: Como en todo trapecio, para hallar su área se suman las bases, se divide entre dos y se multiplica por la altura. Como se indica en la fórmula que se muestra a continuación:

Ahora, para calcular la altura podemos trazar dos alturas desde los vértices A y D, como observamos en la figura de abajo:

Tenemos, entonces, el triángulo ADFG; donde AD es igual a FG, y los triángulos formados en los laterales son congruentes. Por tanto, BF es igual que GC. Asumiremos que ambos miden a.

Por lo tanto, se cumpliría que:

Ahora observamos que los triángulos formados hacia los laterales son triángulos rectángulos, por lo que puede aplicarse el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en el triángulo ABF, AB es la hipotenusa, mientras que AF (la altura a la llamaremos h) y BF son los catetos.

Debemos tener en cuenta, además, que AB es igual que DC. Así, si reemplazamos lo anterior en la fórmula del área, tendríamos el área en función de los lados del trapecio:

Otra forma de calcular el área de un trapecio es multiplicando las diagonales, dividiendo entre dos y multiplicando por el seno del ángulo que forman al intersecarse, recordando que ambas diagonales son iguales:

Vale la pena observar que en el cruce de las diagonales, los ángulos opuestos son iguales y su adyacente es su ángulo suplementario.

Sabiendo entonces que el seno de un ángulo es igual al seno de su ángulo suplementario, se puede elegir cualquiera de los ángulos en las intersección de las diagonales.

Resumiendo, en la imagen inferior se cumple que: α=γ, β=δ y α+β=γ+δ=α+δ=β+γ=180º

Para hallar la diagonal podemos usar la siguiente fórmula:

Por lo tanto, el área sería:

Imaginemos que tenemos un trapecio con bases que miden 4 y 8 metros, mientras que los lados no paralelos miden 3,6 metros cada uno, siendo ambos iguales (por lo que el trapecio es isósceles),¿cuánto mide el perímetro (P), el área (A) y la diagonal (D) de la figura?