Modelos de equilibrio sobre tipos de interés

En otras palabras, los modelos de equilibrio sobre tipos de interés utilizan los tipos de interés de más corto plazo para calcular los tipos de interés futuros teniendo en cuenta la estructura temporal de los tipos de interés. 

Como referencia de los tipos de interés a corto plazo utilizaremos los tipos de interés de los bonos cupón cero. Un ejemplo serían las Letras del Tesoro españolas emitidas a corto plazo.

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La estructura temporal de los precios de bonos cupón cero se obtiene del proceso geométrico Browniano que capta los cambios infinitesimales sobre los tipos de interés a corto plazo. 

Los precios de los bonos cupón cero se utilizan para valorar el precio de las opciones sobre bonos cupón cero y las opciones sobre bonos con cupón. 

Entonces, para calcular los precios de los bonos cupón cero a futuro, necesitamos los tipos de interés cupón cero de corto plazo. De esta forma, también podremos construir la curva o estructura temporal de tipos de interés cupón cero. Una vez tenemos la curva, podremos determinar la evolución de los tipos de interés a largo plazo dados los tipos de interés de corto plazo. 

Las asunciones del modelo son:

• Neutralidad del riesgo.

Suponemos riesgo neutral como asunción clásica para la valoración de activos en los mercados financieros. Este supuesto es clave para obtener el precio de un bono mediante simulación de Monte Carlo. 

• Distribución log-normal de los bonos y tipos de interés.

Suponemos la distribución log-normal ya que planteamos los tipos de interés como una variable positiva al igual que los precios de los bonos. No tendría sentido evaluar bonos con precios negativos. Suponiendo distribución log-normal de los tipos de interés, podemos decir que los tipos de interés seguirán un proceso geométrico Browniano. Si la distribución de los tipos de interés fuese una distribución normal, entonces diríamos que los tipos de interés siguen un proceso aritmético Browniano. 

Los modelos de equilibrio de un solo factor son modelos para calcular la estructura temporal de los tipos de interés a partir de los tipos de interés a corto plazo. 

Decimos de un solo factor ya que el riesgo o la incertidumbre viene dada por un solo factor: la volatilidad de los tipos de interés. Existen modelos de equilibrio de dos factores que proporcionan más posibilidades en los movimientos de los tipos de interés. 

Matemáticamente, definimos un modelo de equilibrio de un solo factor de la forma: 

Donde, 

• r(t): tipos de interés a corto plazo en un instante del tiempo t. 
• dr: cambio en los tipos de interés (r) con el paso del tiempo (dt). 
• dt: paso del tiempo = evolución del tiempo. 
• m(r)dt: dirección o tendencia (m) que toman los tipos de interés (r) con el paso del tiempo (dt). 
• s(r): desviación típica de los tipos de interés (r).
• dZ: componente aleatoria o perturbación que sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

La expresión anterior se conoce como una ecuación diferencial estocástica expresada mediante el proceso de Itô.

Los modelos de equilibrio de un factor más comunes son: 

• Modelo de Rendleman y Bartter. 
• Modelo de Vasicek. 
• Modelo de Cox, Ingresoll y Ross.