Rectas coincidentes

Las rectas coincidentes, desde el punto de vista gráfico, se dibujan una encima de la otra, siendo ambas idénticas.

Asimismo, cabe mencionar que no se forman ángulos entre las rectas coincidentes, como es el caso de las rectas perpendiculares, que forman cuatro ángulos de 90º, y de las rectas oblicuas, que forman dos ángulos agudos (de menos de 90º) y dos ángulos obtusos (de más de 90º).

Otro punto importante es que las rectas paralelas, al igual que las coincidentes, cumplen con tener la misma inclinación (pendiente), pero no tienen ningún punto en común.

Debemos precisar además que una recta es un elemento geométrico unidimensional que consiste en una serie infinita de puntos que van hacia una sola dirección, es decir, no presenta curvas.

Para explicar cómo determinar si dos o más rectas son coincidentes, primero debemos recordar que, desde la geometría analítica, se puede expresar una recta como una ecuación de primer orden como la siguiente:

y=mx+b

Así, en la ecuación y es la coordenada en el eje de las ordenadas (vertical), x es la coordenada en el eje de las abscisas (horizontal), m es la pendiente (inclinación) que forma la recta respecto al eje de las abscisas, y b es el punto en el que la recta corta el eje de las ordenadas.

La anterior es la ecuación explícita de una recta. Si dos o más rectas tienen la misma ecuación explícita, son coincidentes.

Sin embargo, también podemos hacer un análisis más amplio, con las ecuaciones implícitas de dos rectas que tendrían la siguiente forma:

0=Ay+Bx+C

Como podemos observar, se trata de una ecuación similar a la de líneas arriba, pero a un lado de la igualdad dejamos el 0.

Entonces, A es el coeficiente que se multiplicará por la coordenada en el eje vertical, B es el coeficiente que se multiplicará por la coordenada en el eje horizontal, y C se multiplica por 1.

Teniendo toda esta información, dos (o más) rectas son coincidentes cuando sus coeficientes son proporcionales, es decir, limitándonos al caso de dos rectas tendríamos que:

A/A’=B/B’=C/C’

En la ecuación de arriba A, B y C son los coeficientes de una recta, mientras que A’,B’ y C’ son los coeficientes de su recta coincidente.

Supongamos que tenemos dos rectas con las siguiente ecuaciones implícitas:

Recta 1: 0=9y-3x+8

Recta 2: 0=27y-9x+24

Entonces dividimos los coeficientes:

9/27=1/3

3/9=1/3

8/24=1/3

Por lo tanto, la recta 1 y la recta 2 son coincidentes.

En la imagen de abajo, vemos otras dos rectas coincidentes con sus respectivas ecuaciones: