Matriz identidad

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Una matriz identidad o unidad de orden n es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son ceros (0) menos los elementos de la diagonal principal que son unos (1). 

En otras palabras, una matriz identidad solo tiene unos (1) en la diagonal principal y todos los demás elementos de la matriz con ceros (0). Además, la matriz identidad se reconoce por tener forma a cuadrado dado que es una matriz cuadrada.

Representación de una matriz identidad

Podemos crear infinitas combinaciones de matrices unidad siempre y cuando respetemos la condición de ser una matriz cuadrada: tener el mismo número de filas (n) y de columnas (m). 

Propiedades

Cuando realizamos operaciones con la matriz unidad no debemos ponernos nerviosos. Debemos pensar en la matriz identidad como si fuera el número uno (1).

Número 1

  • Cuando multiplicamos por uno (1) cualquier otro número nos queda el mismo número (neutralidad). Dada una constante z o escalar cualquiera:  
  • Si hacemos el inverso del número uno (1), obtendremos el mismo número uno (1) (inversible).
  • Cuando elevamos el número uno (1) h unidades, siempre nos quedará el número uno (1) (idempotencia).

Matriz identidad

  • Neutralidad. Cuando la matriz unidad participa en una multiplicación de matrices, se dice producto neutro. Dada una matriz Z cualquiera:
  • Inversible. La matriz inversa de la matriz unidad es la matriz identidad: 
  • Idempotencia. La matriz inversa elevada h unidades (número natural) sigue siendo la matriz unidad: 

Procedimiento para identificar una matriz identidad

  1. La matriz tiene que ser una matriz cuadrada.
  2. La matriz debe tener unos (1) en la diagonal principal y ceros (0) en las otras posiciones. 

Aplicaciones

La matriz identidad participa en tantas ocasiones como el número uno (1) participa en álgebra. Por ejemplo, cuando multiplicamos una matriz cualquiera con su matriz inversa, obtendremos la matriz unidad.  

Ejemplo teórico 

¿Las siguientes matrices son matrices identidad? 

Matriz IA:

  • Matriz cuadrada.
  • No matriz identidad: en la diagonal principal hay un número distinto a uno (1) y en las demás posiciones hay un número distinto a cero (0). 

Matriz IB:  

  • No matriz cuadrada.
  • No matriz identidad. 

Matriz IC: 

  • No matriz cuadrada. 
  • No matriz identidad. 

Matriz ID: 

  • Matriz cuadrada. 
  • Matriz identidad: en la diagonal principal hay unos (1) y en las demás posiciones hay ceros (0).

Matriz IE: 

  • Matriz cuadrada. 
  • No matriz identidad: aunque en las demás posiciones hay ceros (0), en la diagonal principal hay un número distinto a uno (1).