Definición de función lineal

La noción de función tiene diversos usos. En esta ocasión, nos vamos a centrar en la función matemática: la relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna solo un elemento del segundo conjunto, o ninguno.

Con esto en claro, podemos avanzar en la idea de función lineal. Así se denomina a la función matemática compuesta por variables de primer grado. Cabe destacar que una variable es una magnitud que, en el marco de un cierto conjunto, puede adoptar cualquiera de los valores posibles.

Características de la función lineal

Las funciones lineales se representan con una línea recta en el plano cartesiano. Es importante tener en cuenta que lo que hacen las funciones, en definitiva, es expresar una relación entre variables, pudiéndose desarrollar modelos matemáticos que representen este vínculo.

El conjunto de partida o conjunto inicial se lo denomina dominio, mientras que al conjunto de llegada o conjunto final se lo llama codominio. Las variables independientes forman parte del dominio; las variables dependientes, del codominio. Cuando a los cambios iguales de una variable independiente le corresponden variaciones iguales de la variable dependiente, se habla de función lineal.

Un ejemplo

Y = X + 2 es un ejemplo de función lineal. Supongamos que en el dominio tenemos los valores 2, 5 y 7. Si la función señala que Y es igual a X + 2, en el codominio encontraremos los valores 4, 7 y 9:

X + 2 = Y
2 + 2 = 4
5 + 2 = 7
7 + 2 = 9

Al llevar esta función lineal a un gráfico en coordenadas cartesianas, nos encontraremos con una línea recta creciente: a medida que crecen los valores de X, crecen proporcionalmente los valores de Y.

La función lineal en la geometría y en el álgebra

El concepto de función lineal se encuentra en el ámbito de la geometría analítica y en el del álgebra elemental. La primera es una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de las figuras y sus diversas propiedades, como ser sus áreas, ángulos de inclinación, distancias, intersecciones, volúmenes y puntos de división, entre otras muchas características. En pocas palabras, podemos decir que se trata de una visión muy profunda de las figuras geométricas para conocer todos sus datos en detalle.

Por otro lado tenemos el álgebra elemental, donde se encuentran aquellos conceptos fundamentales del álgebra, la rama de las matemáticas que se enfoca en las estructuras abstractas y la combinación de sus elementos según determinadas reglas. Para la aritmética solamente tienen lugar las operaciones elementales entre los números, como ser la suma, la resta, la multiplicación y la división; el álgebra agrega los símbolos que denotan números, las denominadas variables, y de esta manera abre las puertas a un sinfín de posibilidades.

La función lineal es en sí misma una función polinómica, una relación que le asigna un valor único a cada instancia de la variable y que se compone de un polinomio, una suma o resta de una cantidad finita de términos. Un ejemplo de función polinómica es f(x) = ax + b, donde ax y b son los términos del polinomio.

Como se menciona en un párrafo anterior, la función lineal siempre da líneas rectas en los ejes cartesianos; más precisamente, las rectas son oblicuas, y ésta es la característica de las funciones polinómicas de primer grado. Tenemos tres grados más: el 0, donde se ubica la función constante, que siempre produce rectas paralelas u horizontales al eje x; el 2, con la función cuadrática, que al graficarla genera parábolas; el 3, al que pertenece la función cúbica, que se grafica en forma de curvas cúbica.

Retomando la ecuación de función lineal f(x) = ax + b, podemos decir que a y b son constantes reales y x, una variable real. La constante a sirve para determinar la inclinación que tendrá la recta al ser graficada (su pendiente), mientras que b indica el punto en el cual se cortan la recta y el eje y.

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