Definición de función inyectiva

En el contexto de las matemáticas, se llama función al vínculo que se desarrolla entre dos conjuntos, a través del cual a cada elemento de un conjunto se le asigna un solo elemento de otro conjunto o ninguno. La idea de inyectivo o inyectiva, por otra parte, alude a la propiedad que señala que a dos elementos diferentes de un primer conjunto les corresponden otros dos elementos diferentes de un segundo conjunto.

Una función inyectiva, por lo tanto, es aquella que, a distintos elementos del conjunto inicial (el dominio), les corresponden distintos elementos del conjunto final (el codominio). Esto quiere decir que cada elemento del codominio tiene no más de una preimagen en el dominio: o, expresado de otra manera, que cada elemento del dominio no puede tener más de una imagen en el codominio.

Ejemplo de función inyectiva

La expresión de una función inyectiva es f : x -> y. Tomemos el caso de un conjunto X formado por Argentina, Suiza y Nigeria, y un conjunto Y compuesto por América, Europa y África. Si quisiéramos establecer una relación entre cada país y su correspondiente continente, obtendríamos una función inyectiva, ya que los vínculos serían los siguientes:

Argentina -> América
Suiza -> Europa
Nigeria -> África

Con los conjuntos mencionados y la relación señalada, a los elementos del primer conjunto (los países) nunca podría corresponderles más de una imagen en el segundo conjunto (los continentes). Argentina pertenece a América, y no a Europa ni a África. Suiza, por su parte, está solo en Europa (no en América ni en África). Nigeria, por último, forma parte únicamente de África, sin estar en América o en Europa. En este caso, en definitiva, a ambos conjuntos los vincula una función inyectiva.

Otras clases de relaciones

Veamos a continuación un ejemplo en el cual no se cumplen los requisitos para que la función se pueda considerar inyectiva. Tal es el caso de la función que admite todos los números reales y se define como f(x) = x.x: dado que es posible usar tanto los números negativos como los positivos para reemplazar la variable x, cada resultado (que por convención se representa con la variable y) se puede obtener con cualquier número y su opuesto, como ser 8 y -8 (para ambos, el resultado es 64).

Esto no es posible con ejemplos tales como el que involucra los países y sus continentes, pero esto no quiere decir que fuera de las matemáticas no haya relaciones menos estrictas o, por así decirlo, más flexibles. Si pensamos en un conjunto en el cual se listen los nombres de diez personas y otro, su codominio, en el cual estén algunos de sus amigos sería posible que para cada elemento del segundo hubiese más de uno del dominio.

Retomando el ámbito de los números, si quisiéramos alterar la función anterior para que se convirtiese en inyectiva tan sólo deberíamos restringir el dominio a los números reales positivos: de esta manera, ya nunca un elemento de uno de los conjuntos se relacionaría con más de uno del otro.

Definición formal de función inyectiva

La definición formal de función inyectiva es la siguiente: f: X -> Y es inyectiva solamente si para los elementos del conjunto X a y b se cumple que f(a) es igual a f(b) cuando a es igual a b. Dicho de otra manera, también la función es inyectiva si cuando los elementos son diferentes, también lo son sus imágenes.

Por otro lado, si tenemos dos conjuntos entre los que hay una función inyectiva se habla de cardinalidad cuando para los elementos del primero son menores o iguales a sus imágenes. Si una segunda función relacionara los conjuntos en el sentido inverso, entonces se diría que hay una aplicación biyectiva entre los conjuntos.

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