Compresión: concepto y fórmulas, cálculo, ejemplos, ejercicios
La compresión o esfuerzo de compresión es la fuerza por unidad de área cuyo resultado es empujar, apretar o comprimir un objeto, tendiendo a acortarlo. Matemáticamente es:
E = F /A
Aquí E denota el esfuerzo, F la magnitud de la fuerza y A el área sobre la que actúa, siendo la unidad en el Sistema Internacional SI el newton/m2 o pascal (Pa). El esfuerzo de compresión es un esfuerzo normal, porque la fuerza que lo produce es perpendicular al área sobre la cual se ejerce.
Tal esfuerzo puede comprimir al objeto o por el contrario, tensarlo y estirarlo, según se aplique. En el caso del esfuerzo de compresión, las fuerzas se aplican en sentido contrario para ejercer el efecto de apretar y acortar al objeto.
Una vez que cesan las fuerzas, muchos materiales regresan a sus dimensiones originales. A esta propiedad se le conoce con el nombre de elasticidad. Pero mientras eso ocurre, la deformación elástica unitaria sufrida por un material sujeto a un esfuerzo es:
Deformación unitaria= (Tamaño final – Tamaño inicial)/Tamaño inicial
La deformación puede ser lineal, superficial o de volumen, aunque la deformación unitaria carece de unidades. Sin embargo, la información que brinda es muy importante, ya que no es igual deformar en 1 cm una barra de 10 m de largo, a deformar 1cm otra barra de un 1 m de largo.
En un material elástico, deformación y esfuerzo son proporcionales, cumpliendo la ley de Hooke:
Esfuerzo ∝ Deformación unitaria
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El esfuerzo de compresión hace que las partículas del material se aproximen cada vez más, acortando su tamaño. Dependiendo de la dirección en la que se aplique el esfuerzo, habrá un acortamiento o reducción en alguna de sus dimensiones.
Comencemos suponiendo una barra delgada de longitud original L, a la cual se aplica esfuerzo normal de magnitud E. Si el esfuerzo es de compresión, la barra experimenta una reducción en su longitud, denotada mediante δ. Si es de tensión, la barra se alargará.
Naturalmente, el material del que está hecho el elemento es determinante en su capacidad de soportar los esfuerzos.
Estas características elásticas del material se incluyen en la constante de proporcionalidad antes mencionada. Se llama módulo de elasticidad o módulo de Young y se denota como Y. Cada material tiene un módulo de elasticidad, que se determina experimentalmente mediante ensayos de laboratorio.
Con esto en mente, el esfuerzo E queda expresado en forma matemática así:
Esfuerzo ∝ Deformación unitaria
Por último, para establecer esta condición como una ecuación, se requiere una constante de proporcionalidad para sustituir el símbolo de proporcionalidad ∝ y sustituirlo por la igualdad, así:
Esfuerzo = Constante de proporcionalidad x Deformación unitaria
E = Y. (δ /L)
El cociente (δ /L) es la deformación unitaria, denotada como ε y con δ = Longitud final – Longitud inicial. De esta forma, el esfuerzo E queda como:
E = Y. ε
Ya que la deformación unitaria es adimensional, las unidades de Y son las mismas que las de E: N/m2 o Pa en el sistema SI, libras/pulg2 o psi en el sistema británico, así como otras combinaciones de fuerza y área, como por ejemplo kg/cm2.
Los valores de Y se determinan experimentalmente en el laboratorio, bajo condiciones controladas. A continuación, el módulo de elasticidad para materiales muy utilizados en construcción y también el de los huesos:
Tabla 1
| Material | Módulo de elasticidad Y (Pa) x 109 |
|---|---|
| Acero | 200 |
| Hierro | 100 |
| Latón | 100 |
| Bronce | 90 |
| Aluminio | 70 |
| Mármol | 50 |
| Granito | 45 |
| Concreto | 20 |
| Hueso | 15 |
| Madera de pino | 10 |
Los esfuerzos de compresión actúan sobre diversas estructuras; las mismas que están sujetas a la acción de fuerzas como el peso de cada uno de los elementos que las componen, así como de fuerzas provenientes de agentes externos: viento, nieve, otras estructuras y más.
Es usual que la mayoría de las estructuras se diseñen para que resistan los esfuerzos de todo tipo sin deformarse. Por lo tanto es preciso tomar en cuenta el esfuerzo de compresión para evitar que la pieza o el objeto pierdan su forma.
También los huesos del esqueleto son estructuras sometidas a diversos esfuerzos. Aunque los huesos son resistentes a ellos, cuando por accidente se sobrepasa el límite elástico, se originan fisuras y fracturas.
Las columnas y pilares de las edificaciones deben estar hechos para resistir la compresión, de lo contrario tienden a arquearse. Esto se conoce como flexión lateral o pandeo.
Las columnas (ver figura 1) son elementos cuya longitud es bastante mayor en comparación al área de su sección transversal.
Un elemento cilíndrico es una columna cuando su longitud es igual o mayor a diez veces el diámetro de la sección transversal. Pero si la sección transversal no es constante, se tomará su diámetro menor a efectos de clasificar al elemento como una columna.
Cuando las personas toman asiento en muebles como sillas y bancos, o agregan objetos encima, entonces las patas quedan sometidas a esfuerzos de compresión que tienden a disminuir su altura.
Usualmente los muebles están hechos para resistir bastante bien el peso y regresan a su estado natural una vez que este es retirado. Pero si se coloca un gran peso en sillas o bancos frágiles, las patas ceden a la compresión y se quiebran.
Se tiene una varilla que originalmente mide 12 m de longitud, a la cual se somete a un esfuerzo de compresión tal que su deformación unitaria es de -0.0004. ¿Cuál es la nueva longitud de la varilla?
Solución
Partiendo de la ecuación dada anteriormente:
ε = (δ /L)= – 0.0004
Si Lf es la longitud final y Lola longitud inicial, puesto que δ = Lf – Lo se tiene:
(Lf – Lo) / Lo = -0.0004
Por lo tanto: Lf – Lo = -0.0004 x 12 m =-0.0048 m. Y finalmente:
Lf = (12 – 0.0048) m = 11.9952 m.
Una barra sólida de acero, de forma cilíndrica, mide 6 m de largo y 8 cm de diámetro. Si la barra se somete a compresión mediante una carga de 90.000 kg, encuentre:
a) La magnitud del esfuerzo de compresión en megapascal (MPa)
b) ¿En cuánto disminuyó la longitud de la barra?
Solución a
Primero se encuentra el área A de la sección transversal de la barra, la cual depende de su diámetro D, dando como resultado:
A = π. D2 / 4 = π. (0.08 m)2 / 4 = 5.03 x 10-3 m2
En seguida se encuentra la fuerza, mediante F = m.g = 90.000 kg x 9.8 m/s2= 882.000 N.
Finalmente el esfuerzo promedio se calcula así:
E = F/ A = 882.000 N/ 5.03 x 10-3 m2 = 1.75 x 108 Pa = 175 MPa
Solución b
Ahora se utiliza la ecuación para el esfuerzo, conociendo que el material tiene respuesta elástica:
E = Y. (δ /L)
El módulo de Young del acero se encuentra en la Tabla 1:
δ = E.L / Y = 6 m x 1.75 x 108 Pa / 200 x 10 9 Pa = 5.25 x 10 -3 m = 5.25 mm.
- Beer, F. 2010. Mecánica de materiales. 5ta. Edición. McGraw Hill.
- Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6tth Ed. Prentice Hall.
- Hibbeler, R.C. 2006. Mecánica de materiales. 6ta. Edición. Pearson Educación.
- Tippens, P. 2011. Física: Conceptos y Aplicaciones. 7ma Edición. McGraw Hill
- Wikipedia. Stress (Mechanics). Recobrado de: wikipedia.org.