Ondas tridimensionales: concepto, tipos y ejemplos
Son ondas tridimensionales las que se propagan en el espacio, por ejemplo la onda de sonido producida por un altavoz. Esta onda se propaga en todas direcciones, aunque no con la misma intensidad en todas ellas.
Si en un punto del espacio se produce una perturbación, entonces la misma se propaga en las tres direcciones espaciales, siendo los frentes de ondas superficies cerradas, con forma esférica, elíptica o de algún otro tipo.
Por otra parte, si el lugar donde se originan las ondas, es decir la fuente, tiene una distribución plana, entonces la perturbación viajará principalmente en la dirección perpendicular a dicho plano, formando frentes de onda planos.
Índice del artículo
- 1 Tipos de ondas tridimensionales
- 2 Intensidad y energía de una onda esférica
- 3 Ejemplos de ondas tridimensionales
- 4 Referencias
En las ondas tridimensionales, los frentes de onda son un conjunto de superficies inmersas en el espacio tridimensional.
Ahora bien, el frente de onda es el lugar geométrico de los puntos del espacio que son alcanzados por la perturbación inicial, en un mismo instante de tiempo.
Se suele considerar tres tipos de ondas que viajan en el espacio tridimensional, de acuerdo a la simetría del frente de onda: ondas planas, ondas cilíndricas y ondas esféricas. Sin embargo, las ondas reales no siempre pertenecen a estos tipos, porque no poseen tan alto grado de simetría.
Una onda plana que viaja en la dirección positiva de las x con rapidez v, se representa funcionalmente como:
g(x, t) = f(x – v⋅t)
Dicha onda no está limitada al eje x, sino que también se extiende en las direcciones y y z. Pero la forma funcional nos indica que todos los puntos que tengan la misma coordenada x, independientemente de las coordenadas (z,y), tienen el mismo valor g.
En tal caso los frentes de onda son planos paralelos al plano z-y que avanzan con rapidez v, significando esto que la onda plana ocupa todo el espacio tridimensional.
La expresión que representa a una onda plana que se propaga en una dirección cualquiera û con rapidez v, donde û representa un vector unitario de cosenos directores cos(α), cos(β) y cos(γ), es:
g = f(û•r – v⋅t) = f( x cos(α) + y cos(β) + z cos(γ) – v⋅t)
Es fácil demostrar, por sustitución directa, que la expresión anterior es solución de la ecuación de onda tridimensional, una ecuación en derivadas parciales de segundo orden lineal:
∂xxg + ∂yyg + ∂zzg = (1/v2) ∂ttg
La ecuación anterior puede escribirse en forma más compacta usando el operador laplaciano ∇2:
∇2g = (1/v2) ∂ttg
Cuando la perturbación inicial está distribuida sobre una línea recta, entonces la onda se propaga en la dirección radial perpendicular a esa línea llenando el espacio tridimensional que le rodea, con frentes de ondas cilíndricos.
Cuando la fuente es puntual y el medio en el que se propaga la onda tridimensional es homogéneo e isótropo (sus propiedades no cambian de acuerdo a la dirección), entonces los frentes de onda son esferas concéntricas al punto donde se produjo la perturbación inicial.
En el caso de una onda esférica en el que la intensidad de la onda es idéntica en todas las direcciones, la función que describe la perturbación solo depende de la distancia r a la fuente puntual y del tiempo t.
En este caso se tiene que el laplaciano correspondiente es:
∇2g = (1/r2)∂r(r2 ∂rg)
Siendo la ecuación de ondas:
∇2g = (1/v2) ∂ttg
La solución general sería:
g(r, t) = (1/r) F(r – v⋅t) + (1/r) G(r + v⋅t)
En este caso se dice que se trata de una onda esférica. Pero puede haber variantes, como se verá a continuación
Ondas esféricas no-isotrópicas
También puede ocurrir que una onda esférica, es decir con los frentes de onda formados por esferas concéntricas a un punto central, la amplitud o intensidad de la onda sea distinta en las diferentes direcciones.
Esto es lo que pasa cuando la fuente central de la onda es más eficiente en una direcciones que otras.
Por ejemplo, el sonido producido por una bocina no tiene igual intensidad en todas partes, aún tratándose de puntos equidistantes a la bocina.
La intensidad tampoco es la misma aunque la señal tarde el mismo tiempo en llegar a dichos puntos. Se trata de una onda esférica que tiene un patrón direccional no esférico.
También se tienen ondas esféricas en el caso de las ondas electromagnéticas creadas por una antena, pero puede que no sean igualmente intensas en todas las direcciones.
Medio no homogéneo
Cuando el medio es no homogéneo entonces la velocidad de propagación de la onda es diferente en distintas direcciones.
Un ejemplo de medio no homogéneo es la atmósfera en la que existen diferencias de presión con la altura y hay gradientes de temperatura. Otro ejemplo son los estratos de la corteza terrestre, los cuales se diferencian en densidad y módulo elástico.
La no-homogeneidad trae como consecuencia que los frentes de onda originados en una fuente puntual central no sean esferas concéntricas, ya que la distancia recorrida por la onda, en un mismo lapso de tiempo, es diferente en cada dirección.
Entonces se tiene una onda tridimensional cuyo frente de onda no es esférico.
Podemos escribir la expresión de una onda armónica de tipo esférico así:
g(r, t) = (go / r) cos(k⋅r – ω⋅t)
Donde los frentes de onda se propagan con rapidez radial igual a:
v = ω/k
Y su amplitud decrece con el inverso de la distancia r de la fuente puntual de ondas esféricas.
Las ondas armónicas tienen densidad de energía (energía por unidad de volumen) ε dada por:
ε = ½ ρ ω2 (go / r)2
En esta ecuación:
–ρ tiene unidades de masa por unidad de volumen y representa la densidad del medio donde se propaga una onda sonora.
-go es la amplitud del desplazamiento de un elemento del medio, por ejemplo un fluido, debido a la onda que se propaga.
Debe notarse que, como se trata de una onda esférica, la densidad de energía decrece con el inverso del cuadrado de la distancia.
La intensidad de la onda, es decir la energía transmitida por unidad de tiempo es:
I = v⋅ε
Como siempre, en la práctica la magnitud más importante es la potencia transmitida por unidad de área a la distancia radial r:
P = v⋅ε = Io / r2
Siendo Io = ½ ρ v ω2 go2.
La energía total transmitida por unidad de tiempo a través de una esfera de radio r es: P⋅4πr2= 4π⋅Io, y como era de esperarse no depende de la distancia radial.
Las ondas tridimensionales son muy frecuentes, así tenemos:
Abarcan un espectro muy amplio, desde las ondas de radio entre los cientos de KHz y cientos de MHz, hasta las ondas emitidas por la antena del wifi del orden de los GHz, que ya caen en el rango de las microondas.
Sabemos que las microondas, si bien no son una radiación ionizante, son capaces de aumentar la temperatura del organismo debido a que este contiene mucha agua.
Por lo tanto no es recomendable tener la antena de wi-fi cerca de la cabeza o el cuerpo. Basta alejarse un poco, ya que a doble distancia, la intensidad es la cuarta parte.
También son ondas tridimensionales. Principalmente hay las de tipo P que son las ondas de compresión y las de tipo S que son las de corte o cizalladura (shear en inglés).
Las ondas P o primarias son las primeras en llegar debido a que se propagan a mayor velocidad que las ondas S o secundarias.
El sonido es un tipo de onda tridimensional. Estas ondas se propagan en todas las direcciones, aunque, como hemos dicho antes, no con la misma intensidad en todas las direcciones.
Esto se debe a que la fuente del sonido no siempre emite con simetría perfectamente esférica.
- Baranek, L. 1969. Acústica. 2da. Edición. McGraw Hill.
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