Densidad de corriente: conducción eléctrica y ejemplos

Se denomina densidad de corriente a la cantidad de corriente por unidad de área a través de un conductor. Se trata de una magnitud vectorial, y su módulo está dado por el cociente entre la corriente instantánea I que atraviesa la sección transversal del conductor y el área S de la misma, de manera que:

Dicho así, las unidades en el Sistema Internacional para el vector densidad de corriente son amperios por metro cuadrado: A/m². En forma vectorial la densidad de corriente es:

La densidad de corriente y la intensidad de la corriente están relacionadas, si bien la primera es un vector y la segunda no lo es. La corriente no es un vector pese a tener magnitud y sentido, puesto que tener una dirección preferencial en el espacio no es necesario para establecer el concepto.

Sin embargo el campo eléctrico que se establece en el interior del conductor sí es un vector, y está relacionado con la corriente. Intuitivamente se comprende que el campo es más intenso cuando la corriente también es más intensa, pero el área de la sección transversal del conductor también juega un papel determinante en este aspecto.

Índice del artículo

• 1 Modelo de conducción eléctrica
  • 1.1 ¿Qué sucede cuando el conductor se conecta a una batería?
  • 1.2 La velocidad de arrastre vd  y la densidad de corriente
• 2 Conductividad de un material
• 3 Ley de Ohm
• 4 Ejemplos de aplicación
  • 4.1 -Ejemplo resuelto 1
  • 4.2 –Ejemplo resuelto 2
• 5 Referencias

Modelo de conducción eléctrica

En un trozo de alambre conductor neutro como el que se muestra en la figura 3, de forma cilíndrica, los portadores de carga se mueven aleatoriamente en cualquier dirección. Dentro del conductor, de acuerdo al tipo de sustancia con la que esté hecho, habrá n portadores de carga por unidad de volumen. No se debe confundir esta n con el vector normal perpendicular a la superficie conductora.

El modelo de material conductor propuesto consiste en una red iónica fija y un gas de electrones, que son los portadores de corriente, aunque estén representados aquí con signo +, pues esta es la convención para la corriente.

¿Qué sucede cuando el conductor se conecta a una batería?

Seguidamente se establece una diferencia de potencial entre los extremos del conductor, gracias a una fuente que se encarga de hacer el trabajo: la batería.

Gracias a esta diferencia de potencial, los portadores de corriente se aceleran y marchan de una forma más ordenada que cuando el material se encontraba neutro. De esta manera es capaz de encender la bombilla del circuito mostrado.

En tal caso se ha creado un campo eléctrico en el interior del conductor que acelera a los electrones. Claro que el camino de estos no está libre: pese a que los electrones poseen aceleración, a medida que chocan con la red cristalina van cediendo algo de su energía y se dispersan todo el tiempo. El resultado global es que se mueven un poco más ordenadamente dentro del material, pero ciertamente su progreso es muy poco.

A medida que chocan con la red cristalina la ponen a vibrar, dando como resultado un calentamiento del conductor. Este es un efecto que se nota fácilmente: los cables conductores se calientan cuando son atravesados por una corriente eléctrica.

La velocidad de arrastre v_d  y la densidad de corriente

Los portadores de corriente poseen ahora un movimiento global en la misma dirección que el campo eléctrico. Esa velocidad global que tienen se denomina velocidad de arrastre o velocidad de deriva y se simboliza como v_d.

Se puede calcular mediante algunas consideraciones sencillas: la distancia recorrida dentro del conductor por cada partícula, en un intervalo de tiempo dt es v_d . dt. Como se dijo antes, hay n partículas por unidad de volumen, siendo el volumen el producto del área de la sección transversal A por la distancia recorrida:

V= A.v_d dt

Si cada partícula tiene carga q, ¿qué cantidad de carga dQ atraviesa el área A en un intervalo de tiempo dt?:

dQ =q.n. A.v_d dt

La corriente instantánea justamente es dQ/dt, por lo tanto:

J = q.n.v_d

Cuando la carga es positiva, v_d está en la misma dirección que E  y J. Si la carga fuese negativa, v_d  es opuesta al campo E, pero J y E siguen teniendo la misma dirección. Por otro lado, aunque la corriente sea la misma en todo el circuito, la densidad de corriente no necesariamente permanece invariable. Por ejemplo es menor en la batería, cuya área de sección transversal es mayor que en los alambres de conducción, más delgados.

Conductividad de un material

Puede pensarse que los portadores de carga moviéndose en el interior del conductor y chocando continuamente con la red cristalina, se enfrentan a una fuerza que se opone a su avance, una especie de roce o fuerza disipativa F_d que es proporcional a la velocidad promedio que llevan, esto es, la velocidad de arrastre:

F_d∝ v

F_d= α. v_d

Se trata del modelo de Drude-Lorentz, creado a comienzos del siglo XX para explicar el movimiento de los portadores de corriente en el interior de un conductor. No toma en cuenta los efectos cuánticos. α es la constante de proporcionalidad, cuyo valor es acorde con las características del material.

Si la velocidad de arrastre es constante, la sumatoria de fuerzas que actúan sobre un portador de corriente es nula. La otra fuerza es la ejercida por el campo eléctrico, cuya magnitud es Fe = q.E:

qE – α. v_d = 0

La velocidad de arrastre puede expresarse en términos de la densidad de corriente, si se la despeja convenientemente:

De donde:

J=nq²E/α

Las constantes n, q y α se agrupan en una sola llamada σ, de manera que finalmente se obtiene:

 J = σE

Ley de Ohm

La densidad de corriente es directamente proporcional al campo eléctrico establecido en el interior del conductor. Al este resultado se lo conoce como ley de Ohm en forma microscópica o ley de Ohm local.

El valor de  σ = n.q² / α es una constante que depende del material. Se trata de la conductividad eléctrica o simplemente conductividad. Sus valores están tabulados para muchos materiales y sus unidades en el Sistema Internacional son amperios/voltio x metro (A/V.m), si bien hay otras unidades, por ejemplo S/m (siemens por metro).

No todos los materiales cumplen con esta ley. A los que sí lo hacen se los conoce como materiales óhmicos.

En una sustancia con alta conductividad es fácil establecer un campo eléctrico, mientras que en otra con baja conductividad cuesta más trabajo. Ejemplos de materiales con elevada conductividad son: grafeno, plata, cobre y oro.

Ejemplos de aplicación

-Ejemplo resuelto 1

Encuentre la velocidad de arrastre de los electrones libres en un cable de cobre de área de sección transversal  2 mm² cuando pasa a través de él una corriente de 3 A. El cobre posee 1 electrón de conducción por cada átomo.

Dato: número de Avogadro = 6,023 10²³ partículas por mol; carga del electrón -1.6 x 10^-19 C; densidad del cobre 8960 kg/m³; peso molecular del cobre: 63,55 g/mol.

Solución

De J = q.n.v_dse despeja la magnitud de la velocidad de arrastre:

¿Cómo es que las luces se encienden instantáneamente?

Es asombrosamente pequeña esta velocidad, pero hay que recordar que los portadores de carga están continuamente chocando y rebotando en el interior del conductor, por lo que no se espera que avancen demasiado deprisa. Puede que a un electrón le tome casi una hora ir desde la batería del coche hasta la bombilla del faro por ejemplo.

Afortunadamente no hay que esperar tanto para encender las luces. Un electrón en la batería empuja rápidamente a los demás en el interior del conductor, y así el campo eléctrico se establece muy rápidamente al ser una onda electromagnética. Es la perturbación lo que se propaga dentro del alambre.

Los electrones logran saltar a la velocidad de la luz de un átomo al adyacente y la corriente empieza a fluir de la misma forma en que el agua lo hace a través de una manguera. Las gotas al comienzo de la manguera no son las mismas que a la salida, pero igualmente se trata de agua.

–Ejemplo resuelto 2

La figura muestra dos alambres conectados, hechos del mismo material. La corriente que entra desde la izquierda a la porción más delgada es de 2 A. Allí la velocidad de arrastre de los electrones de 8.2 x 10^-4 m/s. Suponiendo que el valor de la corriente se mantiene constante, encontrar la velocidad de arrastre de los electrones en la porción de la derecha, en m/s.

Solución

En la sección más delgada: J₁ = n.q. v_d1 = I/A₁

Y en la sección más gruesa: J₂ = n.q. v_d2 = I/A₂

La corriente es la misma para ambas secciones, así como n y q, por lo tanto:

Referencias

1. Resnick, R. 1992.Física. Tercera edición ampliada en español. Volumen 2. Compañía Editorial Continental S.A. de C.V.
2. Sears, Zemansky. 2016. University Physics with Modern Physics. 14^th. Ed. Volume 2. 817-820.
3. Serway, R., Jewett, J. 2009. Física para Ciencias e Ingeniería con Física Moderna. 7ma Edición. Volumen 2. Cengage Learning. 752-775.
4. Universidad de Sevilla. Departamento de Física Aplicada III. Densidad e intensidad de corriente. Recobrado de: us.es
5. Walker, J. 2008. Physics. 4th Ed. Pearson.725-728.