Función exponencial

En otras palabras, la función exponencial es una capitalización compuesta donde los períodos de tiempo entre los cálculos de intereses son infinitesimales (muy pequeños).  

La fórmula de la función exponencial es:

La capitalización continua puede expresarse como

Parecidos razonables entre la capitalización continua y la función exponencial, ¿verdad?

Definimos las variables de la capitalización continua:

• C_t+1: capital a tiempo t+1 (posterior).
• C_t: capital a tiempo t (actual).
• i_t: tipo de interés a tiempo t.
• p: frecuencia de capitalización o periodicidad.
• t: tiempo.

En finanzas encontramos frecuentemente la función exponencial en la fórmula de capitalización continua de rentas futuras y en algunas regresiones econométricas.

En economía no es tan popular debido a que la mayoría de modelos tanto microeconómicos como macroeconómicos asumen rendimientos marginales decrecientes en sus factores de producción. Consecuentemente, asumen que los factores sigan rendimientos logarítmicos y, por tanto, rendimientos contrarios a la función exponencial.

Suponemos que somos un inversor americano que quiere construir una pista de esquí en el Pico Bolívar, Venezuela. La inversión inicial son 100MM$ a un tipo de interés anual del 100%. Este inversor tiene suficiente poder de negociación como para determinar la periodicidad del cálculo de los intereses de su inversión.

¿Qué alternativa preferirá el inversor americano?

Para responder a la pregunta, tendremos que calcular el capital a tiempo t+1 (C_t+1) que recibirá el inversor.

Información disponible:

C_t: 100MM$

i_t: 100%

 t: 1 (anual)

C_t+1: ?

Alternativa	A	B	C	D	E	F
Periodicidad	1	2	50	100.000	10.000.000	1.000.000.000

Sustituimos la información que tenemos en la dos formulas (funcion exp. y capitalización continua)

Tratamos los datos obviando los MM.

Dividimos (C_t+1) por 100 en la función exponencial para eliminar el efecto del capital. De este modo, movemos la coma dos posiciones adelante. En consecuencia, este efecto es visible en las siguientes columnas de resultados.

Resultados:

Fórmula	Capitalización continua	Función exponencial
Periodicidad (p) o (n)	Ct+1	Ct+1/100
1	200	2
2	225	2,25
50	269,1588029	2,691588029
100.000	271,8268237	2,718268237
10.000.000	271,8281694	2,718281694
1.000.000.000	271,8282031	2,718282031

Cuando n o p tienden a infinito, en este caso a partir de 10.000.000, podemos ver que los valores convergen en un número concreto. Para la capitalización continua es 271,8281 y para la función exponencial es 2,718281. Las dos series convergen en e.

Entonces, ¿qué alternativa terminará eligiendo el inversor americano, si a partir de un número de periodicidades el capital a t+1 (C_t+1) se estanca en un valor concreto?

• Si este inversor trata el capital como una variable discreta, entonces elegirá la alternativa D. Debido a que a partir de la alternativa C, el capital a t+1 (C_t+1) converge en 271MM$.

• Si este inversor trata el capital como una variable continua, entonces elegirá la alternativa con más periodicidades. En este caso, la alternativa F. Aunque acabe convergiendo en un valor, el inversor tiene en cuenta todos los decimales.

Esta convergencia implica que el capital a t+1 (C_t+1), calculado mediante la fórmula de la capitalización continua o la función exponencial, sigue rendimientos marginales decrecientes. En otras palabras, (C_t+1) puede expresarse como una función logarítmica.

Esquemáticamente:

• Periodicidad = función exponencial.
• Capital a t+1 (C_t+1) = función logarítmica.

En la gráfica se puede ver como la función exponencial, la cual es infinitamente continua crece mucho más rápido que la capitalización continua limitada. Cuando hablamos de capitalización continua nos referimos a una especie de capitalización compuesta pero con mayor periodicidad, pues en la práctica es imposible capitalizar los intereses infinitesimalmente. Es decir, no podemos capitalizar cada segundo.