Definición de proposición matemática
Proposición es un concepto con diferentes usos. Puede tratarse de la manifestación de algo para que otros individuos conozcan una intención, de la concreción de una propuesta o de un enunciado que puede resultar falso o verdadero.
La matemática, por otra parte, es la ciencia dedicada al análisis de las entidades abstractas, como números, figuras geométricas y símbolos, y de sus propiedades. Como adjetivo, el término refiere a todo lo vinculado con esta disciplina deductiva.
Después de estas aclaraciones, podemos centrarnos en las proposiciones matemáticas. Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede acarrear dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez.
Una proposición matemática es una clase de expresión algebraica.
Características de una proposición matemática
Denominadas a través de letras minúsculas, las proposiciones matemáticas tienen un valor de verdad (que será la veracidad o la falsedad de su enunciado). De acuerdo a sus características, es posible distinguir entre proposiciones simples (que carecen de conectores lógicos) y proposiciones compuestas (cuentan con más de un conector lógico).
Dentro de estos grupos también pueden advertirse otras clasificaciones: proposiciones relacionales, proposiciones predicativas, etc.
Algunos ejemplos
Las proposiciones matemáticas pueden ser vistas como expresiones de juicio que no pueden resultar verdaderas y falsas de manera simultánea. Por ejemplo:
a: 9 es múltiplo de 3
Dicha expresión es una proposición matemática que resulta verdadera, ya que 3 x 3 es igual a 9 y, por lo tanto, 9 es uno de los infinitos múltiplos de 3. Como decíamos líneas arriba, la proposición matemática también puede ser falsa:
b: 7 es múltiplo de 3
En este caso, la proposición es falsa ya que 7 no está entre los múltiplos de 3 (3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9).
Las proposiciones matemáticas pueden clasificarse de distinto modo.
Proposición matemática abierta
Hay ciertas afirmaciones de las cuales no podemos anticipar su valor de verdad a simple vista, ya que en su contenido existe al menos una variable, cuyo valor se desconoce. Luego de observarla y analizarla, pueden llevarse a cabo los cálculos necesarios para dar con uno de los valores capaces de reemplazarla, para finalmente estar en condiciones de asegurar se la proposición es verdadera o falsa.
En algunos casos, las variables pueden ser reemplazadas por más de un valor, los cuales forman parte de un conjunto que se denomina dominio de la variable. A su vez, el conjunto que se forma por los elementos de dicho dominio que vuelven la proposición abierta verdadera recibe el nombre de conjunto solución de la proposición abierta.
La conjunción
Cuando se unen dos proposiciones a través del símbolo de conjunción (^), se habla de proposición conjuntiva, la cual debe cumplir la siguiente condición: sólo puede tener un valor de verdad verdadero si sus dos componentes también lo son; en cambio, si al menos una de ellas arroja el valor falso, entonces la proposición conjuntiva es falsa.
Dado que se trata de la relación entre dos conjuntos, también es posible determinar aquellos elementos que forman parte de ambos dominios de variables, los cuales pertenecen al conjunto intersección de ambas proposiciones matemáticas.
Proposición matemática disjuntiva
En este caso, también se conectan dos proposiciones, pero se utiliza el símbolo opuesto al anterior, que se puede leer como la palabra «o».
Aquí se propone una relación caracterizada por el siguiente requisito: la proposición disjuntiva sólo podrá tener un valor verdadero si sus dos componentes resultan falsas, mientras que basta con que una de ellas sea verdadera para que la primera también lo sea.
La implicación
Este tipo de proposición matemática también se denomina condicional y consiste en una conexión particular.
En concreto, la implicación de una proposición tiene lugar si se cumple lo siguiente: es falsa sólo cuando la primera proposición (denominada antecedente) es verdadera y la segunda (el consecuente) es falsa; cualquier otro caso dará como resultado un valor verdadero.