Definición de propiedad conmutativa
En las matemáticas, las operaciones tienen diferentes propiedades. La propiedad distributiva, por ejemplo, se aplica en la multiplicación e indica que el número multiplicado por la suma de dos sumandos es igual a la suma de los productos de cada uno de estos sumandos por el número en cuestión. Es decir: A x (B + C) = A x B + A x C.
La propiedad asociativa, aplicable en la multiplicación y la suma, indica por su parte que el resultado de las operaciones no está vinculado a la forma en la que se agrupan los números. Dicho en una expresión algebraica: (A + B) + C = A + (B + C)
La propiedad conmutativa se cumple en la suma y en la multiplicación.
Qué es la propiedad conmutativa
Ahora es el turno de analizar otra de estas propiedades: la propiedad conmutativa, que indica que el orden de los números que se emplean en la operación no altera el resultado de la misma.
La propiedad conmutativa aparece en la suma y la multiplicación y define la posibilidad de sumar o de multiplicar los números en cualquier orden, obteniendo siempre el mismo resultado:
A + B = B + A o A x B = B x A
Funcionamiento en la suma y en la multiplicación
En primer lugar, veamos cómo funciona la propiedad en la suma. Si tenemos los valores A = 5 y B = 7, obtendremos la siguiente equivalencia a partir de la propiedad conmutativa:
5 + 7 = 7 + 5
12 = 12
En el caso de la multiplicación, el razonamiento es el mismo. Trabajando con los mismos valores que en el ejemplo anterior, por lo tanto, obtendremos esta equivalencia:
5 x 7 = 7 x 5
35 = 35
La propiedad conmutativa contribuye a la resolución de ecuaciones con incógnitas.
Utilidad de la propiedad conmutativa
Conocer la propiedad conmutativa a la hora de realizar sumas y multiplicaciones es muy útil, especialmente durante la resolución de ecuaciones con incógnitas, ya que nos quita el peso de mantener un orden en particular para cada uno de sus sumandos y factores. No olvidemos que los ejemplos expuestos anteriormente reflejan las posibilidades más sencillas, ya que también podría darse la siguiente ecuación para demostrar la efectividad de la propiedad conmutativa en ambas operaciones:
(A x C + Z / A) x B + D + E x Z = D + B x (Z / A + C x A) + Z x E
Nótese que en este caso la propiedad conmutativa puede aplicarse de manera que obtengamos varias equivalencias, ya que al incluir la suma y la multiplicación, aumenta el número posible de combinaciones. Una ecuación mucho más compleja podría tener operaciones tales como la radicación y la potenciación, además de constantes (valores fijos, a diferencia de las variables) y divisiones que abarquen todo un término o parte del mismo.
Cuando se busca despejar una incógnita, resulta esencial conocer todas las propiedades de las operaciones involucradas en la ecuación para evitar cometer errores. No olvidemos que la matemática es una ciencia exacta y que, por lo general, su uso nos lleva a conseguir un único valor posible; en otras palabras, cometer un pequeño error es suficiente para invalidar el resto del trabajo.
Operaciones incompatibles
Por otro lado, también es muy importante saber que la propiedad conmutativa no se cumple en la resta, la división, la potenciación y la radicación. Basta con invertir el orden de cualquier ecuación sencilla que incluya una de dichas operaciones para apreciar esta incompatibilidad.
En los siguientes ejemplos se puede verificar cuán peligroso puede ser intentar aplicar los principios de la propiedad conmutativa fuera de sumas y multiplicaciones: 12 – 8 = 4, mientras que 8 – 12 = -4; 4 / 2 = 2 mientras que 2 / 4 = 0,5; 3 elevado a la octava potencia es igual a 6561, y dista mucho de 8 elevado al cubo, que da como resultado 512.