¿Qué son los vectores coplanares? (Con ejercicios resueltos)
Los vectores coplanares o coplanarios son aquellos que están contenidos sobre un mismo plano. Cuando se tienen solamente dos vectores, estos siempre son coplanares, puesto que existiendo infinitos planos siempre es posible escoger alguno que los contenga.
Si se tienen tres o más vectores, puede ser que alguno de ellos no se encuentre en el mismo plano que los demás, por lo tanto no se podrían considerar coplanares. En la siguiente figura se observa un conjunto de vectores coplanares denotados en negritas A, B, C y D:
Los vectores se relacionan con el comportamiento y las propiedades de magnitudes físicas relevantes en ciencia e ingeniería; por ejemplo la velocidad, la aceleración y la fuerza.
Una fuerza produce efectos distintos sobre un objeto cuando se varía la forma en que se aplica, por ejemplo cambiando la intensidad, la dirección y el sentido. Aún cambiando uno solo de estos parámetros los resultados son considerablemente diferentes.
En muchas aplicaciones, tanto en estática como en dinámica, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo están sobre un mismo plano, por lo tanto se consideran coplanares.
Índice del artículo
- 1 Condiciones para que los vectores sean coplanares
- 2 Aplicaciones
- 3 Ejercicios resueltos
- 4 Referencias
Para que tres vectores sean coplanares deben estar sobre el mismo plano y esto sucede si cumplen alguna de las siguientes condiciones:
-Los vectores son paralelos, por lo tanto sus componentes son proporcionales y son linealmente dependientes.
-Su producto mixto es nulo.
-Si se tienen tres vectores y cualquiera de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los otros dos, estos vectores son coplanares. Por ejemplo un vector que resulte de la suma de otros dos, los tres están todos en un mismo plano.
Alternativamente se puede establecer la condición de coplanaridad de la siguiente manera:
u, v, w son coplanares si existen tres números (escalares) α, β, γ tales que αu + βv + γw = 0 con (α, β, γ) distintos de (0, 0, 0)
El producto mixto entre vectores se define con tres vectores u, v y w, dando como resultado un escalar que resulta de realizar la siguiente operación:
u· (v x w) = u · (v x w)
Primero se efectúa el producto cruz que está entre paréntesis: v x w, cuyo resultado es un vector normal (perpendicular) al plano en que se encuentran tanto v como w.
Si u está sobre el mismo plano que v y w, naturalmente el producto escalar (producto punto) entre u y dicho vector normal deberá ser 0. De esta forma se comprueba que los tres vectores son coplanares (yacen sobre el mismo plano).
Cuando el producto mixto no es nulo, su resultado equivale al volumen del paralelepípedo que tiene a los vectores u, v y w como lados adyacentes.
Las fuerzas concurrentes están aplicadas todas sobre el mismo punto. Si además son coplanares, pueden sustituirse por una sola, la cual se denomina fuerza resultante y tiene el mismo efecto que el de las fuerzas originales.
Si un cuerpo se encuentra en equilibrio gracias a tres fuerzas coplanares, concurrentes y no colineales (no paralelas), denominadas A, B y C, el teorema de Lamy señala que la relación entre dichas fuerzas (magnitudes) es la siguiente:
A / sen α = B / sen β = C / sen γ
Con α, β y γ como los ángulos opuestos a las fuerzas aplicadas, tal como se muestra en la siguiente figura:
Encontrar el valor de k para que los vectores siguientes sean coplanares:
u = -3, k, 2>
v = 4, 1, 0>
w = -1, 2, -1>
Solución
Dado que se tienen las componentes de los vectores, se emplea el criterio del producto mixto, por lo tanto:
u· (v x w) = 0
Se resuelve primero v x w. Los vectores se expresarán en términos de los vectores unitarios i, j y k que distinguen las tres direcciones perpendiculares en el espacio (ancho, alto y profundidad):
v= 4 i + j + 0 k
w= -1 i + 2j -1 k
v x w = -4 (i x i) + 8 (i x j) – 4 (i x k) – (j x i) + 2 (j x j) – 2 (j x k) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k
Ahora se plantea el producto escalar entre u y el vector que ha resultado de la operación anterior, igualando la operación a 0:
u · (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0
24 + 4k = 0
El valor buscado es: k = – 6
De manera que el vector u es:
u = -3, -6, 2>
La figura muestra un objeto cuyo peso es W = 600 N, colgando en equilibrio gracias a los cables colocados según los ángulos mostrados en la figura 3. ¿Es posible aplicar el teorema de Lamy en esta situación? En todo caso encuentre las magnitudes de T1, T2 y T3 que hacen posible el equilibrio.
Solución
El teorema de Lamy es aplicable en esta situación si se considera el nudo sobre el que están aplicadas las tres tensiones, ya que constituyen un sistema de fuerzas coplanares. Primero se hace el diagrama de cuerpo libre para el peso colgante, con la finalidad de determinar la magnitud de T3:
De la condición de equilibrio se desprende que:
T3 = W = 600 N
Los ángulos entre las fuerzas están marcados en rojo en la siguiente figura, se puede comprobar fácilmente que su suma es 360 º. Ahora es posible aplicar el teorema de Lamy, ya que se conoce una de las fuerzas y los tres ángulos que hay entre ellas:
T1 / sen 127º = W /sen 106º
Por lo tanto: T1 = sen 127º (W /sen 106º) = 498.5 N
De nuevo se aplica el teorema de Lamy para despejar T2:
T2 / sen 127 = T1 / sen 127º
T2 = T1 = 498.5 N
- Figueroa, D. Serie: Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 1. Cinemática. 31-68.
- Física. Módulo 8: Vectores. Recobrado de: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mecánica para Ingenieros. Estática. 6ta Edición. Compañía Editorial Continental.28-66.
- McLean, W. Serie Schaum. Mecánica para Ingenieros: Estática y Dinámica. 3ra Edición. McGraw Hill. 1-15.
- Wikipedia. Vector. Recobrado de: es.wikipedia.org.