Jerarquía de operaciones: explicación, niveles, ejemplos, ejercicios

¿Qué es la jerarquía de operaciones?

La jerarquía de operaciones matemáticas consiste en una serie de reglas que establecen la prioridad de las distintas operaciones en un cálculo. Algunas operaciones se deben realizar primero y otras después, para garantizar el resultado correcto.

Es frecuente que en un mismo cálculo haya símbolos de agrupación, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potencias, y entonces cabe preguntarse con cuál de todas ellas se comienza.

Por ejemplo, en la siguiente operación:

3×5 + 4×(7 − 3)²

¿Qué parte de ella se hace primero?

Para evitar ambigüedades, los matemáticos han establecido que cada operación tiene un nivel o jerarquía diferente que indica el orden de su realización, aunque un mismo cálculo no necesariamente contiene todos los niveles.

En el ejemplo propuesto, la primera operación es eliminar los paréntesis, resolviendo la operación indicada en ellos y después efectuar el cuadrado, luego realizar las multiplicaciones y por último las sumas:

3×5 + 4×(7 − 3)² = 3×5 + 4×(4)² = 3×5 + 4×16 = 15 + 64 =79

Con un poco de práctica y algo de ayuda para la memoria no es difícil obtener siempre el resultado correcto en cualquier operación matemática.

Los niveles de las operaciones: PEMDAS

La jerarquía de las operaciones consta de 4 niveles:

• Primer nivel:  Paréntesis y otros signos agrupación (si los hay)
• Segundo nivel:Exponentes y raíces
• Tercer nivel:Multiplicaciones y Divisiones
• Cuarto nivel: Adiciones y Sustracciones

Obsérvese que las iniciales de cada operación están resaltadas en negrita: P-E-MD-AS formando la palabra PEMDAS.

Esta palabra sirve como recordatorio para el orden en que deben hacerse las operaciones: primero se resuelven los paréntesis, si los hay, luego los exponentes y las raíces, después las multiplicaciones y divisiones y de último se dejan sumas y restas.

Una vez establecida la jerarquía, se darán a continuación una serie de indicaciones para trabajar con los signos de agrupación y por último muchos ejemplos y ejercicios resueltos que aclaran cada punto explicado.

Operaciones con y sin signos de agrupación

Para llevar a cabo operaciones con y sin signos de agrupación, hay de tener presente estas indicaciones:

• Los símbolos o signos de agrupación se usan para facilitar los cálculos, expresando un orden específico para cada operación. Se comienza resolviendo las operaciones que contenidas en el signo más interno, que usualmente es un paréntesis, luego el que sigue y por último el más externo. Los signos de agrupación más utilizados son: paréntesis (), corchetes [] y llaves {}.
• En todo momento se debe tener en cuenta la ley de los signos y aplicarla según el tipo de operación que se esté realizando:
  • Un signo de agrupación precedido de un signo + se elimina sin que sea necesario cambiar los signos del contenido. Ejemplo: + (2 + 7 − 10) = 2 + 7 − 10.
  • Cuando se va a eliminar el signo de agrupación precedido de un signo − hay que cambiar los signos del contenido. Ejemplo: − (4 − 9 − 1) = −4 + 9 + 1.
• Los símbolos de cruz “×” y punto a media altura “∙” se utilizan para expresar multiplicación, mientras que los símbolos “/” y “÷” indican una división.
• De aparecer grupos de paréntesis sin algún signo entre ellos, se trata de una multiplicación, o si aparece un número al lado de un paréntesis, este multiplica al contenido. Ejemplos: (−5)(4) = −20 y 7(5+1) = 42.
• Tanto para la multiplicación como para la división, la ley de los signos establece que:
  • El producto o cociente de dos números de igual signo siempre es positivo. Ejemplo: (−3)× (−4) = 12
  • Cuando se tiene el producto o cociente de dos números de distinto signo, el resultado siempre es negativo. Ejemplo: (−48)÷ 6 = −8
• Cuando la operación no tiene signos de agrupación, se sigue este orden: primero se resuelven los exponentes y las raíces si los hay, luego las multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y las restas.
• Las operaciones que tienen la misma jerarquía se llevan a cabo de izquierda a derecha.

Ejemplos paso a paso

Ejemplo 1: operaciones sin signos de agrupación

Resolver las siguientes operaciones sin signos de agrupación:

a) 3 + 5 − 4 + 14

Esta operación consta únicamente de sumas y restas, que están al mismo nivel y pueden trabajarse simultáneamente, por ejemplo así:

3 + 5 − 4 + 14 = 8 + 10 = 18

b) −8 + 3×4 + 31

Aquí se debe resolver primero la multiplicación 3×4 = 12, luego se procede a sumar lo que resulta de ello:

−8 + 3×4 + 31 = −8 + 12 + 31 = 35

c) 3³ − 44 + 2

La operación contiene una potencia, por lo que se resuelve primero 3³ = 27 y luego se suma lo que resulte:

3³ − 44 + 2 = 27 − 44 + 2 =  − 15

d) 4×3 −4² + 10÷2 − 26

Esta operación contiene potencia, multiplicación, división y resta. La potencia 4² = 16 va primero:

4×3−4² + 10÷2 − 26 = 4×3−16 + 10÷2 − 26

Después siguen la multiplicación y la división 4×3 = 12 y 10÷2 = 5

4×3−16 + 10÷2 − 26 = 12−16 + 5 − 26

Y se suma el resultado:

12−16 + 5 − 26 = − 25

Ejemplo 2: operaciones con signos de agrupación

Resolver las siguientes operaciones con símbolo de agrupación, tomando en cuenta que primero se debe realizar la operación que encierra el símbolo y luego aplicar la ley de los signos.

a) 4×2(3+6)÷3

El paréntesis debe eliminarse en primer lugar. Al resolver la operación que encierra el símbolo se obtiene:

4×2(3+6)÷3=4×2(9)÷3

De esta manera se obtiene una operación con producto y cociente. Obsérvese que el 2 que precede al paréntesis simboliza también un producto, aunque no aparezca el símbolo de la multiplicación, por lo tanto se puede escribir:

4×2(9)÷3 = 4×2×9÷3

Estas operaciones tienen la misma prioridad, por lo que se resuelven a la vez, comenzando de izquierda a derecha:

= 72÷3=24

b) 5 + (2+3)² − 12÷3

Acá se procede a realizar la operación dentro del paréntesis y calcular la potencia:

5 + (2+3)² − 12÷3 = 5 + 5² − 12÷3 = 5 + 25 − 12÷3

Seguidamente se lleva a cabo la división indicada:

5 + 25 − 12÷3 = 5 + 25 − 4

Por último las sumas y restas:

5 + 25 − 4 = 30 − 4 = 26

c) 4{5 − [6 + (2 − 4)³ ÷ 2 + 20]}

En esta operación se resuelve en primer lugar el paréntesis, puesto que es el símbolo de agrupación más interno:

4{5 − [6 + (2 − 4)³ ÷ 2 + 20]} = 4{5 − [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20]}

Ahora queda una potencia en el interior del corchete, la cual involucra un entero negativo. Se sabe que si la base es negativa y el exponente es impar el resultado es negativo, así que lo más conveniente es resolver esta operación:

4{5 − [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20]} = 4{5 − [6 + (−8) ÷ 2 + 20]}

Seguidamente se aplica la ley de los signos al cociente (−8) ÷ 2 = −8 ÷ 2 y queda lo siguiente:

4{5 − [6 + (−8) ÷ 2 + 20]} = 4{5 − [6 −  8 ÷ 2 + 20]}

En el siguiente paso se elimina el corchete, notando que está precedido por un signo negativo, lo que significa que el contenido de los signos en el corchete debe cambiar:

4{5 − [6 −  8 ÷ 2 + 20]} = 4{5 − 6 +  8 ÷ 2  − 20}

Se observa que hay una división en el corchete que aún no se ha realizado y debe ser ejecutada, ya que las llaves, como símbolo de agrupación, señala que esta operación tiene prioridad:

4{5 − 6 +  8 ÷ 2  − 20} = 4{5 − 6 +  4  − 20}

De nuevo, la operación entre las llaves tiene prioridad:

4{5 − 6 +  4  − 20} = 4{− 17}

Como no hay un símbolo entre el 4 y la cantidad entre las llaves, se trata de una multiplicación:

4{− 17} = − 68

Ejercicios resueltos

Determinar el resultado de las siguientes operaciones:

a) 12 − {18 + [ 7 – 3(4-7) + 2 – 15÷ 3] +10– 22} + 86

b) 4(–2)⁵ + 3(–3)² + √81 + [√16 – 2(–6) + 3]

Solución a

12 − {18 + [ 7 – 3(4–7) + 2 – 15÷ 3] +10 – 22} + 86 =

=12 − {18 + [7 – 3(–3) + 2 – 5] +10 – 22} + 86=

=12 − {18 + [7 + 9 + 2 – 5] +10 – 22} + 86 = 12 − {18 + 13 + 2 – 5 +10 – 22} + 86 =

=12−16 + 86 = 82

Solución b

4(–2)⁵ + 3(–3)² + √81 + [√16 – 2(–6) + 3] =

= 4×32 + 3×9 + 9 + [4 +12 + 3] =

= 128 + 27 + 19 = 204

Referencias

1. Baldor, A. 2007. Aritmética teórico práctica. Grupo Editorial Patria S.A. de C.V.
2. Disfruta las Matemáticas. El orden de las operaciones PEMDAS. Recuperado de: disfrutalasmatematicas.com
3. Monterey Institute. Orden de operaciones. Recuperado de: montereyinstitute.org.
4. Universidad Tecnológica de Chihuahua. Curso de nivelación de matemáticas. Recuperado de: www.utch.edu.mx.