Análisis dimensional: concepto, técnicas, principio, ejercicios
¿Qué es el análisis dimensional?
El análisis dimensional es una herramienta muy usada en distintas ramas de la ciencia y la ingeniería para entender mejor los fenómenos que implican la presencia de diferentes magnitudes físicas. Las magnitudes tienen dimensiones y de estas se derivan las distintas unidades de medida.
El origen del concepto de dimensión se halla en el matemático francés Joseph Fourier, que fue quien lo acuñó. Fourier también comprendió que, para que dos ecuaciones puedan ser comparables, deben ser homogéneas en lo que respecta a sus dimensiones. Es decir, no se pueden sumar metros con kilogramos.
Así, el análisis dimensional se encarga de estudiar las magnitudes, las dimensiones y la homogeneidad de las ecuaciones físicas. Por ello se emplea frecuentemente para comprobar relaciones y cálculos, o para construir hipótesis sobre cuestiones complicadas que, con posterioridad, puedan ser comprobadas de forma experimental.
De esta forma, el análisis dimensional es una herramienta perfecta para detectar errores en los cálculos al comprobar la congruencia o incongruencia de las unidades utilizadas en los mismos, poniendo especialmente el foco en las unidades de los resultados finales.
Además, el análisis dimensional se emplea para proyectar experimentos sistemáticos. Permite reducir el número de experimentos necesarios, así como facilitar la interpretación de los resultados obtenidos.
Una de las bases fundamentales del análisis dimensional es que es posible representar cualquier magnitud física como un producto de las potencias de una cantidad más reducida, las conocidas como magnitudes fundamentales de las cuales derivan las demás.
Magnitudes fundamentales y fórmula dimensional
En física se consideran magnitudes fundamentales a aquellas que permiten expresar a las demás en función de estas. Por convención, se han elegido las siguientes: la longitud (L), el tiempo (T), la masa (M), la intensidad de corriente eléctrica (I), la temperatura (θ), la intensidad luminosa (J) y la cantidad de sustancia (N).
Por el contrario, el resto es considerado magnitudes derivadas. Algunas de estas son: el área, el volumen, la densidad, la velocidad, la aceleración, entre otras.
Se define como fórmula dimensional a la igualdad matemática que presenta la relación que se da entre una magnitud derivada y las fundamentales.
Técnicas de análisis dimensional
Existen diversas técnicas o métodos de análisis dimensional. Dos de los más importantes son los siguientes:
Método de Rayleigh
Rayleigh, quien fue junto a Fourier uno de los precursores del análisis dimensional, desarrolló un método directo y muy sencillo que permite conseguir elementos adimensionales. En este método se siguen los siguientes pasos:
- Se define la función de carácter potencial de la variable dependiente.
- Se cambia cada variable por sus dimensiones correspondientes.
- Se establecen las ecuaciones de condición de homogeneidad.
- Se fijan las n-p incógnitas.
- Se sustituyen los exponentes que se han calculado y fijado en la ecuación potencial.
- Se desplazan los grupos de variables para ir definiendo los números adimensionales.
Método de Buckingham
Este método se basa en el teorema de Buckingham o teorema de pi, que afirma lo siguiente:
Si se da una relación a nivel dimensional homogénea entre un número “n” de magnitudes físicas o variables donde aparecen incluidas “p” dimensiones fundamentales distintas, también se da una relación dimesionalmente de homogeneidad entre n–p, grupos adimensionales independientes.
Principio de homogeneidad dimensional
El principio de Fourier, conocido también como principio de homogeneidad dimensional, incide en la adecuada estructuración de las expresiones que vinculan magnitudes físicas algebraicamente.
Se trata de un principio que tiene consistencia matemática y afirma que la única opción es restar o sumar entre sí magnitudes físicas que sean de igual naturaleza. Por lo tanto, no es posible sumar una masa con una longitud, ni un tiempo con una superficie, etc.
Del mismo modo, el principio afirma que, para que las ecuaciones físicas sean correctas a nivel dimensional, el total de los términos de los miembros de los dos lados de la igualdad debe tener la misma dimensión. Este principio permite garantizar la coherencia de las ecuaciones físicas.
Principio de similitud
El principio de similitud es una extensión del carácter de homogeneidad a nivel dimensional de las ecuaciones físicas. Se enuncia del siguiente modo:
Las leyes físicas permanecen sin variación frente al cambio de las dimensiones (tamaño) de un hecho físico en un mismo sistema de unidades, ya se trate de cambios de carácter real o imaginario.
La aplicación más clara del principio de similitud se da en el análisis de las propiedades físicas de una maqueta hecha a una escala menor, para posteriormente utilizar los resultados en el objeto a tamaño real.
Esta práctica es fundamental en campos como el diseño y la fabricación de aviones y barcos y en las grandes obras hidráulicas.
Aplicaciones del análisis dimensional
Entre las muchas aplicaciones del análisis dimensional se pueden destacar las que se enumeran a continuación.
- Localizar posibles errores en las operaciones realizadas
- Resolver problemas cuya resolución presenta alguna dificultad matemática insalvable.
- Diseñar y analizar modelos a escala reducida.
- Realizar observaciones acerca de cómo influyen las posibles modificaciones en un modelo.
Además, el análisis dimensional se utiliza con bastante frecuencia en el estudio de la mecánica de fluidos.
La relevancia del análisis dimensional en la mecánica de fluidos se debe a lo difícil que resulta establecer ecuaciones en ciertos flujos así como a la dificultad para resolverlas, por lo que resulta imposible conseguir relaciones empíricas. Por esto hace necesario acudir al método experimental.
Ejercicios resueltos
Primer ejercicio
Halle la ecuación dimensional de la velocidad y de la aceleración.
Solución
Dado que v = s / t, se cumple que: [v] = L / T = L ∙T-1
De igual modo:
a = v / t
[a] = L / T2 = L ∙T-2
Segundo ejercicio
Determine la ecuación dimensional de la cantidad de movimiento.
Solución
Dado que la cantidad de movimiento es el producto entre la masa y la velocidad, se cumple que p = m ∙ v
Por tanto:
[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙T-2