Paradoja de Arrow

Durante el siglo XX, los teoremas de imposibilidad se convirtieron en una parte importante de las matemáticas. El teorema de la imposibilidad de Arrow, popularizado en su libro «Elección social y valores individuales» (1951) es uno de los primeros teoremas de la imposibilidad fuera de las matemáticas puras, que tuvo un gran impacto en las ciencias sociales.

Con él, Arrow creó una nueva rama de la economía del bienestar denominada teoría de la elección social.

Arrow distingue entre las decisiones o elecciones individuales y las colectivas. En diferentes ciencias o disciplinas (como la economía, la sociología o las ciencias políticas), se acepta que, generalmente, los individuos realizan elecciones racionales.

Es decir, que reúnen los criterios de transitividad, universalidad y reflexividad.

Los tres criterios de racionalidad a los que se refiere Arrow para distinguir las decisiones individuales de las sociales son transitividad, universalidad y reflexividad. Veamos las características de cada uno de ellos.

Transitividad: La propiedad transitiva es una de las que caracteriza las relaciones entre los diferentes elementos de un conjunto. Supongamos que un individuo (x) puede elegir entre tres opciones: A, B y C.

• Si un individua prefiere A a B
• y ese mismo individuo prefiere B a C,
• Por la propiedad transitiva, de esta situación se deriva que prefiere prefiere A a C.

Por tanto, la transitividad permite no solo que un sujeto elija su opción favorita, sino también establecer un orden de preferencias de entre las diferentes alternativas que puede escoger.

Universalidad: El supuesto de universalidad supone que se pueden elaborar tantas combinaciones como sea posible. Así, dadas tres alternativas (A, B y C) serían posibles seis combinaciones, como las siguientes:

• A es mejor que B.
• B es mejor que A.
• B es mejor que C.
• C es mejor que B.
• C es mejor que A.
• A es mejor que C.

Reflexividad: Indica que una alternativa cualquiera está relacionada consigo misma. Por ejemplo:

• A podría ser mayor o igual que A.
• A podría ser menor o igual que A.

Además de estos tres elementos Kenneth Arrow añade dos criterios más, que, en su opinión, son imprescindibles para entender que un modelo de elección es democrático:

No dictadura: Ningún individuo puede determinar el orden de preferencias de otro individuo. Es decir, los individuos toman decisiones de forma independiente y libre.

No imposición: El único criterio para la ordenación de las preferencias sociales son las ordenaciones individuales, sin que se impongan otros criterios como la tradición o cualquier forma de coerción.

Arrow se planteó si existe la posibilidad de establecer un procedimiento de decisión colectiva que pueda cumplir con todos los requisitos de racionalidad y, al mismo tiempo, ser democrático. Su respuesta fue tajante: no.

Con su teorema de la imposibilidad, Arrow mostró que es imposible diseñar un método de votación o elección colectiva que, en contextos en los se pueda elegir entre tres o más opciones, se cumplan los supuestos de racionalidad y, al mismo tiempo, se cumplan los criterios democráticos.

El problema aparece cuando se intenta trasladar las preferencias individuales a preferencias sociales o colectivas. Es decir, cuando se intenta construir un método de votación o elección que permita establecer un orden entre las distintas alternativas a nivel social. En estas circunstancias es posible que la transitividad desaparezca y dé paso a relaciones circulares o intransitivas, en las que no es posible establecer un orden de preferencias.

Arrow partió de lo que se conoce como la paradoja de Condorcet. Durante la Revolución francesa, este ilustre filósofo y matemático francés afirmó que decisiones colectivas no son necesariamente transitivas, lo que puede generar que en una votación se prefiera A a B, B a C y, aquí está la paradoja, C a A.

Supongamos un caso en el que tres individuos Marta, Juan y Clara, quieren comprar un coche y deben decidir entre tres colores: Azul, Blanco y el Caqui. Cada uno ellos ordena por los colores por preferencia, por si se da el caso de que el modelo que quieren, no está en su color favorito.

Nombre	Preferencia 1	Preferencia 2	Preferencia 3
Marta	Azul a Blanco	Blanco a Caqui	Azul a Caqui
Juan	Blanco a Caqui	Caqui a Azul	Blanco a Azul
Clara	Caqui a Azul	Azul a Blanco	Caqui a Blanco

En este ejemplo, se observa que las preferencias individuales son transitivas. En otras palabras, si cada uno de ellos elige el color de su coche de forma individual, si, como Marta, se prefiere A a B y B a C, de ello se deriva que se prefiere A a C.

Sin embargo, si se trata de una votación para elegir colectivamente el color de un coche que van a compartir, y se cumplen los criterios de democracia (no dictadura y no imposición), puede darse el escenario que se observa en el cuadro, en el que la mayoría prefiere A a B y B a C pero, en cambio, no prefiere A a C. De esta forma, la suma de preferencias individuales transitivas ha dado como resultado una preferencia colectiva intransitiva.

El teorema demuestra que, dadas estas suposiciones mínimas, es imposible construir un procedimiento que resulte en una expresión colectivamente racional de los deseos individuales.

Aunque altamente técnico en su declaración, el teorema tiene implicaciones importantes para las filosofías de la democracia y la economía política, ya que con él se rechaza la noción de una voluntad democrática colectiva, ya sea derivada a través de la deliberación cívica o interpretada por expertos que aplican el conocimiento de la mejor manera para un población.

El teorema también niega que puedan existir necesidades básicas objetivas o criterios universales que deban ser aplicados en cualquier procedimiento para la toma de decisiones colectiva debería reconocer, dado que, al fin y a cabo, es imposible lograr unas reglas perfectas.