Criterio de factorización de Fisher-Neyman

De forma intuitiva, este teorema permite que podamos saber si un estadístico, es un estadístico suficiente. Y, al revés, sin tener información de antemano, intentar determinar la existencia de un estadístico suficiente y su expresión. Ver estadístico suficiente

Formalmente, se dice que dada una muestra aleatoria simple (m.a.s.) de una variable aleatoria X con función de densidad f(x;θ) con θ ∈ Ω. Se dice que el estadístico T = T(X1, … ,Xn) es suficiente para θ, si y solo si, la función de densidad de la muestra se puede escribir como:

f(x1, … ,xn) = h(x1, … ,xn) × g(T,θ)

Para entender lo que quieren decir cada una de las partes de este teorema, vamos a redefinirlo pero con un ejemplo:

Escogemos al azar a 100 estudiantes (muestra aleatoria simple) y les preguntamos cuál es su gasto anual en libros (variable aleatoria X). Esta variable tendrá una función de densidad (ver función de densidad). Debemos elegir entonces, un estadístico suficiente para calcular un parámetro (θ) (El parámetro θ será la media del gasto anual en libros).

La fórmula indicada se divide como sigue:

• f(x1, … ,xn): Es la función de densidad de la muestra (función de densidad de la muestra sobre la variable aleatoria X).
• h(x1, … ,xn): Es una función que no toma valores negativos solo de la muestra (el gasto de los 100 estudiantes).
• g(T,θ): Es una función que depende solo del estadístico elegido (media muestral) y del parámetro a calcular (media).

Realizando los cálculos adecuados se obtiene la demostración. Esta demostración no se verá aquí, ya que se necesitan conocimientos avanzados en materia de matemáticas.

En este sentido, teniendo en cuenta lo anterior, lo más importante es entender que existen herramientas para comprobar ciertas propiedades. Propiedades que sin duda son importantes a la hora de hacer estudios estadísticos.

¿Por qué es lo más importante? Porque habitualmente no hacemos demostraciones para ver si un estadístico es suficiente. Simplemente sabemos que es suficiente. Por ejemplo, los matemáticos ya demostraron que la media es un estadístico suficiente. Por tanto, no tenemos por qué demostrarlo.

En conclusión, la idea es conocer la herramienta a título informativo para entender algunos conceptos importantes en estudios estadísticos.