Conjuntos infinitos

En otras palabras, un conjunto infinito es lo opuesto a un conjunto finito, que es aquel que posee una cantidad limitada o acotada de elementos.

Cabe precisar que el hecho de que un conjunto sea infinito no significa que no sea numerable. Para entender este punto, veamos el ejemplo del conjunto de números naturales enteros, que es infinito, pero es numerable, pues es posible identificar el elemento 1, 2, 3, etc.

Desde otro punto de vista, un conjunto M es infinito cuando no puede emparejarse con otro conjunto {1, 2, …, n}, al que denominaremos N. Este último es una sucesión de números enteros donde cada elemento es igual al anterior, más la unidad.

De manera más formal, se dice que no existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto M y el conjunto N, siendo este último finito.

Además, cabe señalar que M y N no son equipotentes. Es decir, para cada elemento de M no existe un elemento de N.

Algunos ejemplos de conjuntos infinitos son los siguientes:

• La cantidad de granos de arena en una playa.
• Los números impares enteros mayores a 13.
• Las gotas de agua que contiene el mar.
• Los múltiplos de 10.

Las propiedades de los conjuntos infinitos son las siguientes:

• La unión de los conjuntos A y B es un conjunto infinito, siempre y cuando uno de esos conjuntos, A o B, es infinito.
• Cualquier conjunto que tenga como subconjunto un conjunto infinito, también es un conjunto infinito.
• El conjunto potencia de un conjunto infinito es, a su vez, infinito. En este sentido, debemos recordar que el conjunto potencia de un conjunto M comprende todos los subconjuntos que pueden formarse con los elementos de dicho conjunto, incluyendo el conjunto nulo o ∅. Por ejemplo, si tenemos:

{7, 13, 58}

El conjunto potencia sería: {∅, {7,13}, {7,58}, {13,58}, {7}, {13}, {58}, {7,13,58}}