Conjuntos finitos

Un conjunto finito, en otras palabras, es aquel que posee un número de elementos que pueden contarse. Siendo lo opuesto a un conjunto infinito, donde los elementos son incontables.

Una manera más formal de expresar que un conjunto es finito es que los elementos de ese conjunto, al que llamaremos M, pueden emparejarse con los elementos del conjunto {1, 2, …, n}, al que denominaremos N. Este es una sucesión de números enteros donde cada elemento es igual al anterior, más la unidad.

Así, se pueden emparejar uno a uno los elementos de M y N (lo que se conoce como correspondencia biunívoca), sin dejar fuera ningún elemento de los dos conjuntos.

También se dice que M y N son equipotentes, es decir, para cada elemento de M existe un elemento de N.

Además, el número n (el elemento mayor del conjunto N) coincide con el número de elementos de M, siendo n el cardinal, la cardinalidad o la potencia de N, y su notación es card(N), |N| o #N.

Algunos ejemplos de conjuntos finitos serían los planteados a continuación:

• Los números enteros impares mayores a 13 y menores a 29: {15, 17, 19, 21, 23, 25, 27}
• Los océanos de la tierra: Atlántico, Pacífico, Indico, Ártico, Antártico
• La lista de los veinte alumnos que pertenecen a un salón de clases.

Entre las principales propiedades de los conjuntos finitos, se encuentran las que se exponen a continuación:

• La unión de dos o más conjuntos finitos da como resultado un conjunto finito.
• La intersección (los elementos en común) de un conjunto finito con uno o más conjuntos es finita.
• El subconjunto de un conjunto finito también es finito.
• El subconjunto C de un conjunto finito M se caracteriza por tener una cantidad menor de elementos que M. Es decir, se cumple que: Si C ⊊ M y |M| = n, entonces |C| < n (El símbolo ⊊ significa que C es un subconjunto propio de M. Es decir, que todos los elementos de C están contenidos en M, pero existe, al menos, un elemento de M que no está en C).
• El conjunto potencia de un conjunto finito M, que comprende todos los subconjuntos que pueden formarse con los elementos del conjunto M (incluyendo el conjunto vacío o ∅), es finito y posee 2ⁿ elementos, siendo n el número de elementos de M. Por ejemplo, si tenemos:

{1, 3, 41}

El conjunto potencia sería: {∅, {1,3}, {1,41}, {3,41}, {1}, {3}, {41}, {1,3,41}}

Como podemos observar, el conjunto potencia de un conjunto finito de tres elementos tiene ocho (2³) elementos.