Álgebra de conjuntos

El álgebra de conjuntos forma parte de lo que conocemos como teoría de conjuntos.

Cabe recordar que un conjunto es la agrupación de elementos de distinta índole, como pueden ser letras, números, símbolos, funciones, figuras geométricas, entre otros.

Las principales operaciones con conjuntos son las siguientes:

• Unión: La unión de dos o más conjuntos contiene todos los elementos que pertenezcan, al menos, a uno de dichos conjuntos. Se indica con la letra U.

A={9,34,57,6,9}

B={10,41,57,9,16}

AUB={9,34,57,6,9,10,41,16}

• Intersección: La intersección de dos o más conjuntos incluye los elementos que comparten dichos conjuntos. Se indica con la U invertida(∩). Ejemplo:

A={a,r,t,i,c,o}

B={i,n,d,i,c,o}

A∩B={i,c,o}

• Diferencia: La diferencia de un conjunto respecto a otro es a igual a los elementos del primer conjunto menos los elementos del segundo. Se indica con el símbolo / o con -. Visto de otro modo, x ∈ a A/B si x ∈ A, pero x ∉ B. Ejemplo:

A={21,34,56,17,7}

B={78,21,17,36,80}

A-B={34,56,7}

• Complemento: El complemento de un conjunto incluye todos los elementos que no están contenidos en dicho conjunto (pero que sí pertenecen a otro conjunto universal de referencia). Se indica con el superíndice C. Ejemplo:

A={3,9,12,15,18}

U (Universo)=Todos los múltiplos de 3 que sean números naturales enteros menores de 30.

A^C={6,21,24,27}

• Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos incluye todos elementos que están en uno o en otro, pero no en ambos al mismo tiempo. Es decir, se trata de la unión de los conjuntos menos su intersección. Su símbolo es Δ. Ejemplo:

A={17,81,99,131,65,32}

B={11,54,71,65,99,27}

AΔB={17,81,131,32,11,54,71,27}

• Producto cartesiano: Es una operación que da como resultado un nuevo conjunto, el cual contiene como elementos los pares ordenados o las tuplas (series ordenadas) de los elementos que pertenecen a dos o más conjuntos. Son pares ordenados si se trata de dos conjuntos y tuplas si tenemos más de dos conjuntos. Ejemplo:

A={8,15,6,51}

B={x,y}

AxB={(8,x),(8,y),(15,x),(15,y),(6,x),(6,y),(51,x),(51,y)}

BxA={(x,8),(x,15),(x,6),(x,51),(y,8),(y,15),(y,6),(y,51)}

Las leyes del álgebra de conjuntos son las siguientes:

• Idempotencia: La unión o intersección de un conjunto consigo mismo da como resultado el mismo conjunto:

XUX=X

X∩X=X

• Conmutativa: El orden de los factores no altera el resultado al hallar la unión o intersección de conjuntos:

XUY=XUY

X∩Y=X∩Y

• Distributiva: La unión de un conjunto X, con la intersección de otros dos conjuntos Y y Z, es igual a la intersección de la unión de X e Y, con la unión de X y Z. Es decir:

XU(Y∩Z)=(XUY)∩(XUZ)

Además, se cumple lo mismo si invertimos el orden de las operaciones:

X∩(YUZ)=(X∩Y)U(X∩Z)

• Asociativa: Los términos de una operación de unión o intersección de varios conjuntos pueden agruparse de forma indistinta, obteniendo siempre el mismo resultado:

XU(XUY)=(XUY)UZ

X∩(X∩Y)=(X∩Y)∩Z

• Ley de Morgan: El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos, y el complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus complementos.

(XUY)^C=X^C∩Y^C

(X∩Y)^C=X^CUY^C

• Ley de diferencia: La diferencia de un conjunto respecto a otro es igual a la intersección del primero con el complemento del segundo:

(X-Y)=X∩Y^C

• Leyes del complemento:
  • La unión de un conjunto con su complemento da igual al conjunto universal. XUX^C=U
  • La intersección de un conjunto con su complemento es igual al conjunto nulo o vacío. X∩X^C=∅
  • El complemento del complemento de un conjunto X es igual al conjunto X. (X^C)^C=X
  • El complemento del conjunto universal es igual al conjunto nulo o vacío. X^C=∅
  • El complemento del conjunto vacío es igual al conjunto universal. ∅^C=U

• Leyes de la absorción:
  • XU(X∩Y)=X
  • X∩(XUY)=X
  • XU(X^C∩Y)=XUY
  • X∩(X^CUY)=X∩Y