Definición de permutación

Permutación es una noción que proviene del latín permutatio. El término refiere al procedimiento y el resultado de permutar. Este verbo, por su parte, hace mención al canje de una cosa por otra, sin la intermediación de dinero a menos que se busque equiparar el valor de los objetos permutados.

Por ejemplo: “Creo que salí ganando con la permutación de la casa”, “El gerente nos pidió que busquemos la permutación de la maquinaria antigua”, “La propuesta de permutación no fue aceptada por la otra parte”.

Permutación en la matemática

La noción de permutación es habitual en el campo de la matemática. En este caso, la idea menciona a los posibles ordenamientos de aquellos elementos que forman parte de un conjunto no infinito.

Esto quiere decir que una permutación es un cambio de la manera en la que se disponen los elementos. Puede considerarse como una función de tipo biyectiva dentro del conjunto, ya que señala distintas correspondencias entre los elementos.

Veamos un ejemplo. El conjunto {5,6,7} puede ordenarse de diferentes formas, dando lugar a varias permutaciones. En concreto, este conjunto permite seis permutaciones: {5,6,7}, {5,7,6}, {7,5,6}, {7,6,5}, {6,5,7}, {6,7,5} y {5,6,7}.

El ciclo

Existe una clase especial de permutación que se denomina ciclo. En este caso, una cantidad determinada de elementos se mantiene fija, mientras que el resto de moviliza de manera cíclica. Cuando no hay elementos que permanezcan fijos, se habla de permutación cíclica.

Cuando se aplica un ciclo a un elemento Y de un conjunto, se espera que todos los demás elementos pasen, tarde o temprano, por la posición que ocupaba Y originalmente. La contrapartida de esta situación es que Y también ocupará todas las otras posiciones de los elementos que están sometidos a la permutación.

Permutación y combinatoria

Se conoce con el nombre de combinatoria al estudio de la numeración, la existencia y la construcción de propiedades de configuraciones que cumplan determinadas condiciones. Pertenece a las matemáticas discretas y la permutación también está relacionada con esta rama, según se expone a continuación.

La combinatoria estudia la cantidad de maneras diferentes en las que se pueden considerar conjuntos que se forman partiendo de elementos de un conjunto inicial, siguiendo determinadas reglas (tales como el orden, la partición, la repetición y el tamaño). De esta manera, un problema combinatorio suele consistir en establecer una regla acerca de la forma en la cual se deben dar las llamadas agrupaciones y determinar cuántas de ellas que satisfacen dicha regla. Se deben tener en cuenta las combinaciones, las variaciones y las permutaciones (éstas últimas pueden ser consideradas una clase especial de variaciones), con o sin repetición.

La transposición

Hay un tipo de permutación denominada transposición, que consiste en agrupar los elementos en ciclos de longitud 2. Es posible escribir cualquier permutación como un producto de transposiciones y, por lo tanto, de ciclos. Si tomamos la permutación P = (s1,s2)(s1,s3)…(s1,st), con los elementos (1,3,8)(2,4,5,9)(6,7), podemos descomponerla de la siguiente manera: (1,3)(1,8)(2,4)(2,5)(2,9)(6,7).

A modo de curiosidad, cabe señalar que el estudio de la permutación de las raíces de ecuaciones de tipo algebraico le abrió las puertas a Évariste Galois, un matemático francés del siglo XIX, a dar sus primeros pasos en la elaboración de la teoría de grupos, la cual pertenece a la rama de las matemáticas conocida como álgebra abstracta y estudia tanto las propiedades como las aplicaciones de los grupos dentro y fuera del ámbito matemático.

Galois fue el primero en utilizar el término permutaciones en el contexto de las matemáticas y los grupos por los que comenzó a trabajar fueron los no abelianos, o sea aquéllos que no son conmutativos (los grupos abelianos, que recibieron su nombre a partir del matemático Niels Henrik Abel, oriundo de Noruega, sí tienen la propiedad conmutativa).

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