División sintética: qué es, cómo se hace, ejemplos, ejercicios

¿Qué es la división sintética?

La división sintética es una forma sencilla de dividir un polinomio P(x) por uno de la forma d(x) = x – c. Por ejemplo, el polinomio P(x) = (x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x+1) puede representarse como la multiplicación de los dos polinomios más sencillos (x+1) y (x⁴ + 2x³).

Es una herramienta de gran utilidad, ya que, además de permitirnos dividir polinomios, también permite evaluar un polinomio P(x) en cualquier número c, lo cual a su vez nos indica de manera precisa si dicho número es un cero o no del polinomio.

Gracias al algoritmo de la división, sabemos que si tenemos dos polinomios P(x) y d(x) no constantes, existen polinomios q(x) y r(x) únicos tales que se cumple que P(x) = q(x)d(x) + r(x), donde r(x) es cero o es de grado menor que q(x). Estos polinomios son conocidos como cociente y residuo o resto, respectivamente.

En las ocasiones en las cuales el polinomio d(x) es de la forma x – c, la división sintética nos da una forma corta de encontrar quiénes son q(x) y r(x).

Método de división sintética

Sea P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ el polinomio que deseamos dividir y d(x)=x-c el divisor. Para dividir por el método de división sintética procedemos de la siguiente manera:

1- Escribimos los coeficientes de P(x) en la primera fila. Si alguna potencia de X no aparece, colocamos cero como su coeficiente.

2- En la segunda fila, a la izquierda de a_n colocamos c, y trazamos líneas de división, tal como se muestra en la siguiente figura:

3- Bajamos el coeficiente líder hasta la tercera fila.

En esta expresión  b_n-1= a_n

4- Multiplicamos c por el coeficiente líder b_n-1 y el resultado lo escribimos en la segunda fila, pero una columna a la derecha.

5- Sumamos la columna donde escribimos el resultado anterior y el resultado lo colocamos debajo de dicha suma. Es decir, en la misma columna, tercera fila.

Al sumar, tenemos como resultado a_n-1+c*b_n-1, al cual por comodidad llamaremos b_n-2

6- Multiplicamos c por el resultado anterior y escribimos el resultado a su derecha en la segunda fila.

7- Repetimos el paso 5 y 6 hasta llegar al coeficiente a₀.

8- Escribimos la respuesta, es decir, el cociente y el residuo. Como estamos efectuando la división de un polinomio de grado n entre un polinomio de grado 1, tenemos que el cociente sería de grado n-1.

Los coeficientes del polinomio cociente serán los números de la tercera fila, excepto el último, el cual será el polinomio residuo o resto de la división.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1

Realizar la siguiente división por el método de división sintética:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x+1) : (x+1).

Solución

Primero escribimos los coeficientes del dividendo de la siguiente manera:

Luego escribimos c en el lado izquierdo, en la segunda fila, junto con las líneas de división. En este ejemplo c = -1.

Bajamos el coeficiente líder (en este caso b_n-1 = 1) y lo multiplicamos por -1:

Escribimos su resultado a la derecha en la segunda fila, como se muestra a continuación:

Sumamos los números de la segunda columna:

Multiplicamos 2 por -1 y escribimos el resultado en la tercera columna, segunda fila:

Sumamos en la tercera columna:

Procedemos de manera análoga hasta llegar a la última columna:

Así, tenemos que el último número obtenido es el resto de la división, y los números restantes son los coeficientes del polinomio cociente. Esto se escribe de la siguiente manera:

Si deseamos verificar que el resultado es correcto, basta con verificar que se cumple la siguiente ecuación:

P(x)=q(x)*d(x) + r(x)

Así podemos comprobar que el resultado obtenido es correcto.

Ejemplo 2

Realizar la siguiente división de polinomios por el método de división sintética:

(7x³-x+2): (x+2)

Solución

En este caso tenemos que el término x² no aparece, por lo cual escribiremos al 0 como su coeficiente. Así, el polinomio nos quedaría como 7x³+0x²-x+2.

Escribimos sus coeficientes en fila, esto es:

Escribimos el valor de C=-2 al lado izquierdo en la segunda fila y trazamos las líneas de división.

Bajamos el coeficiente líder b_n-1 = 7 y lo multiplicamos por -2, escribiendo su resultado en la segunda fila a la derecha.

Sumamos y procedemos, como se explicó previamente, hasta llegar al último término:

En este caso, el resto es r(x)=-52 y el cociente obtenido es q(x)=7x²-14x+27.

Ejemplo 3

Otra forma de usar la división sintética es la siguiente: supongamos que tenemos un polinomio P(x) de grado n y queremos saber cuál es valor al evaluarlo en x = c.

Por el algoritmo de la división, podemos escribir el polinomio P(x) de la siguiente forma:

En dicha expresión, q(x) y r(x) son el cociente y el resto, respectivamente. Ahora, si d(x) = x- c, al evaluar en c en el polinomio nos resulta lo siguiente:

Por esto solo queda encontrar a r(x), y esto lo podemos hacer gracias a la división sintética.

Por ejemplo, tenemos el polinomio P(x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 y queremos saber cuál es su valor al evaluarlo en x = 5. Para ello realizamos la división entre P(x) y d(x) = x -5 por el método de división sintética:

Una vez hechas las operaciones, sabemos que podemos escribir P(x) de la siguiente forma:

P(x) = (x⁶-4x⁵ –x⁴+ 7x³ +32x² +179x+858)*(x-5) + 4253

Por lo tanto, al evaluarlo tenemos que:

P(5) = (5-4(5)-5+7(5)+32(5)+179(5)+858)*(5-5) + 4253

P(5) = (5-4(5)-5+7(5)+32(5)+179(5)+858)*(0) + 4253

P(5) = 0 + 4253= 4253

Como podemos ver, es posible usar la división sintética para encontrar el valor de un polinomio al evaluarlo en c en vez de simplemente sustituir c por x. 

Si tratáramos de evaluar P(5) de la manera tradicional, nos veríamos en la necesidad de realizar algunos cálculos que suelen volverse tediosos.

Ejemplo 4

El algoritmo de la división para polinomios también se cumple para polinomios con coeficientes complejos y, como consecuencia, tenemos que el método de división sintética también funciona para dichos polinomios. A continuación, veremos un ejemplo.

Usaremos el método de división sintética para mostrar que z = 1+ 2i es un cero del polinomio P(x)=x³+ (1+i)x² –(1+2i)x +(15+5i). Es decir, que el residuo de la división P(x) entre d(x) = x – z es igual a cero.

Procedemos como antes: en la primera fila escribimos los coeficientes de P(x), luego en la segunda escribimos z y trazamos las líneas de división.

Realizamos la división como antes, esto es:

Podemos observar que el residuo es cero; por lo tanto, concluimos que z = 1+ 2i es un cero de P(x).

Referencias

1. Baldor, Aurelio. Álgebra. Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precálculo: Gráfico, numérico, algebraico. Pearson Educación.