Propiedades de la igualdad: qué son y cuáles son
¿Qué son las propiedades de la igualdad?
Las propiedades de la igualdad se refieren a la relación entre dos objetos matemáticos, bien sean números o variables. Se denota por el símbolo “=”, que siempre va en medio de estos dos objetos. Esta expresión se usa para establecer que dos objetos matemáticos representan el mismo objeto; en otra palabra, que dos objetos son la misma cosa.
Hay casos en los que es trivial utilizar la igualdad. Por ejemplo, es claro que 2=2. Sin embargo, cuando se trata de variables ya no es trivial y tiene usos específicos. Por ejemplo, si se tiene que y=x y por otro lado x=7, se puede concluir que y=7 también.
El ejemplo anterior se basa en una de las propiedades de la igualdad, como se verá en breve. Estas propiedades son indispensables para resolver ecuaciones (igualdades que involucran variables), las cuales forman una parte muy importante en las matemáticas.
¿Cuáles son las propiedades de la igualdad?
1. Propiedad reflexiva
La propiedad reflexiva, en el caso de la igualdad, establece que todo número es igual a sí mismo y se expresa como b=b para cualquier número real b.
En el caso particular de la igualdad esta propiedad pareciera ser obvia, pero en otro tipo de relaciones entre números no lo es. En otras palabras, no toda relación de números reales cumple con esta propiedad. Por ejemplo, tal caso de la relación “menor que” (); ningún número es menor que sí mismo.
2. Propiedad simétrica
La propiedad simétrica para la igualdad dice que si a=b, entonces b=a. No importa el orden que se use en las variables, este será preservado por la relación de igualdad.
Se puede observar cierta analogía de esta propiedad con la propiedad conmutativa en el caso de la suma. Por ejemplo, debido a esta propiedad es equivalente escribir y=4 o 4=y.
3. Propiedad transitiva
La propiedad transitiva en la igualdad establece que si a=b y b=c, entonces a=c. Por ejemplo, 2+7=9 y 9=6+3; por lo tanto, por la propiedad transitiva se tiene que 2+7=6+3.
Una aplicación sencilla es la siguiente: supongamos que Julián tiene 14 años de edad y que Mario tiene la misma edad de Rosa. Si Rosa tiene la misma edad de Julián, ¿cuántos años tiene Mario?
Detrás de este escenario se usa la propiedad transitiva dos veces. Matemáticamente, se interpreta así: sea “a” la edad de Mario, “b” la edad de Rosa y “c” la edad de Julián. Se sabe que b=c y que c=14.
Por la propiedad transitiva se tiene que b=14; es decir, Rosa tiene 14 años. Como a=b y b=14, usando nuevamente la propiedad transitiva se tiene que a=14; es decir, que la edad de Mario también es 14 años.
4. Propiedad uniforme
La propiedad uniforme consiste en que, si se suman o se multiplican ambos lados de una igualdad por la misma cantidad, la igualdad se preserva. Por ejemplo, si 2=2, entonces 2+3=2+3, lo cual es claro, pues 5=5. Esta propiedad tiene mayor utilidad cuando se trata de resolver una ecuación.
Se pueden establecer las siguientes afirmaciones:
– Si a-b=c-b, entonces a=c.
– Si x-b=y, entonces x=y+b.
– Si (1/a)z=b, entonces z=a×
– Si (1/c)a=(1/c)b, entonces a=b.
5. Propiedad cancelativa
La propiedad cancelativa es un caso particular de la propiedad uniforme, considerando particularmente el caso de la resta y la división (que, en el fondo, también corresponden a una suma y una multiplicación). Esta propiedad trata este caso de manera separada.
Por ejemplo, si 7+2=9, entonces 7=9-2. O si 2y=6, entonces y=3 (dividiendo entre dos en ambos lados).
Análogamente, al caso anterior, a través de la propiedad cancelativa se pueden establecer las siguientes afirmaciones:
– Si a+b=c+b, entonces a=c.
– Si x+b=y, entonces x=y-b.
– Si az=b, entonces z=b/a.
– Si ca=cb, entonces a=b.
6. Propiedad de sustitución
Si conocemos el valor de un objeto matemático, la propiedad de sustitución establece que este valor puede ser sustituido en cualquier ecuación o expresión. Por ejemplo, si b=5 y a=bx, entonces sustituyendo el valor de “b” en la segunda igualdad se tiene que a=5x.
Otro ejemplo es el siguiente: si “m” divide a “n” y también “n” divide a “m”, entonces se debe tener que m=n.
7. Propiedad de potencia en una igualdad
Así como anteriormente se vio que si se hace una operación como una suma, multiplicación, resta o división en ambos términos de una igualdad, esta se preserva, de igual manera se pueden aplicar otras operaciones que no alteren una igualdad.
La clave es realizarla siempre en ambos lados de la igualdad y asegurarse previamente que la operación se puede realizar. Tal es el caso de la potenciación; esto es, si se elevan ambos lados de una ecuación a la misma potencia, se sigue teniendo una igualdad.
Por ejemplo, como 3=3, entonces 32=32 (9=9). En general, dado un número entero “n”, si x=y, entonces xn=yn.
8. Propiedad de la raíz en una igualdad
Este es un caso particular de potenciación y se aplica cuando la potencia se trata de un número racional no entero, como por ejemplo ½, el cual representa la raíz cuadrada. Esta propiedad establece que si se aplica la misma raíz en ambos lados de una igualdad (siempre que sea posible hacerlo), la igualdad se preserva.
A diferencia del caso anterior, aquí se debe tener cuidado con la paridad de la raíz que se vaya a aplicar, ya que es bien conocido que la raíz par de un número negativo no está bien definida.
En el caso de que el radical sea par, no hay ningún problema. Por ejemplo, si x3=-8, aun cuando es una igualdad, no se puede aplicar una raíz cuadrada en ambos lados, por ejemplo. Sin embargo, si se puede aplicar una raíz cúbica (lo cual es incluso más conveniente si se quiere conocer explícitamente el valor de x), obteniendo así que x=-2.