Divisores de 90: cuáles son y explicación

Los divisores de 90 son: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 y 90.

¿Cómo se calcula? Dividimos entre los números que sean menores a 90 y cuyo resultado sea un número entero:

• 90/1=90
• 90/2=45
• 90/3=30
• 90/5=18
• 90/6=15
• 90/9=10
• 90/10=9
• 90/15=6
• 90/18=5
• 90/30=3
• 90/45=2
• 90/90=1

¿Qué son los divisores de 90?

Los divisores de 90 son todos aquellos números enteros tales que al dividir 90 entre ellos el resultado también es un número entero. Es decir, un número entero “a” es divisor de 90 si cuando se efectúa la división de 90 entre “a” (90÷a), el resto de dicha división es igual a 0.

Para encontrar cuáles son los divisores de 90 se comienza realizando la descomposición de 90 en factores primos. Luego, se realizan todos los productos posibles entre esos factores primos. Todos los resultados serán los divisores de 90.

Los primeros divisores que se pueden agregar a la lista son el 1 y el 90.

¿Cuáles son los divisores de 90?

Si se agrupan todos los divisores del número 90 calculados anteriormente se obtiene el conjunto {1, 2, 3, 5, 6, 9, 15, 18, 30, 45}.

Pero, se debe recordar que la definición del divisor de un número se aplica para los números enteros, es decir, positivos y negativos. Por lo tanto, al conjunto anterior hace falta agregar los enteros negativos que también dividen a 90.

Los cálculos realizados anteriormente se podría repetir, pero se puede ver que se obtendrán los mismos números que antes, excepto que todos serán negativos.

Por lo tanto, la lista de todos los divisores del número 90 son:

{±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±9, ±15, ±18, ±30, ±45, ±90}.

Explicación

Un detalle con el que hay que tener cuidado es que, cuando se habla de divisores de un número entero, se entiende implícitamente que los divisores también deben ser números enteros.

Es decir, si se considera el número 3, se puede ver que al dividir 3 entre 1.5, el resultado será 2 (y el resto es igual a 0). Pero 1,5 no se considera un divisor de 3 pues esta definición es solo para los números enteros.

Al descomponer 90 en factores primos se puede ver que 90=2*3²*5. Por tanto, se puede concluir que tanto el 2, 3 y 5 también son divisores de 90.

Falta agregar todos los posibles productos entre estos números (2, 3, 5), teniendo presente que el 3 tiene potencia dos.

Posibles productos

Hasta ahora, la lista de divisores del número 90 es: {1,2,3,5,90}. Los demás productos que se deben agregar son los productos de solo dos enteros, de tres enteros, y de cuatro.

1.- De dos enteros:

Si se fija el número 2 entonces el producto toma la forma 2*_, el segundo lugar tiene solo 2 posibles opciones que son 3 o 5, por tanto hay 2 posibles productos que involucran al número 2, a saber: 2*3=6 y 2*5=10.

Si se fija el número 3 entonces el producto queda de la forma 3*_, donde el segundo lugar posee 3 opciones (2, 3 o 5), pero el 2 no se puede escoger, pues ya se escogió en el caso anterior. Por lo tanto, hay solo 2 productos posibles que son: 3*3=9 y 3*5=15.

Si ahora se fija el 5 entonces el producto toma la forma 5*_, y las opciones para el segundo entero son 2 o 3, pero estos casos ya fueron considerados anteriormente.

Por tanto, hay un total de 4 productos de dos enteros, es decir, hay 4 divisores nuevos del número 90 que son: 6, 9, 10 y 15.

2.- De tres enteros:

Se comienza fijando el 2 en el primer factor, entonces el producto queda de la forma 2*_*_. Los diferentes productos de 3 factores con el número 2 fijo son 2*3*3=18, 2*3*5=30.

Se debe notar que el producto 2*5*3 ya fue agregado. Por tanto, solo hay dos posibles productos.

Si se fija el 3 como el primer factor, entonces los posibles productos de 3 factores son 3*2*3=18 (ya fue agregado) y 3*3*5=45. Por tanto, solo hay una opción nueva.

En conclusión, hay tres nuevos divisores de 90 que son: 18, 30 y 45.

3.- De cuatro enteros:

Si se considera el producto de cuatro enteros, entonces la única opción es 2*3*3*5=90, el cual ya se agregó a la lista desde el comienzo.