Teorema de Moivre: explicación, demostración, ejercicios resueltos

¿Qué es el teorema de Moivre?

El teorema de Moivre aplica procesos fundamentales de álgebra, como las potencias y la extracción de raíces en números complejos. El teorema fue enunciado por el reconocido matemático francés Abraham de Moivre (1730), quien asoció los números complejos con la trigonometría.

Abraham Moivre realizó esta asociación por medio de las expresiones del seno y coseno. Este matemático generó una especie de fórmula a través de la cual es posible elevar un número complejo z a la potencia n, que se trata de un número entero positivo mayor o igual 1.

Explicación

El teorema de Moivre establece lo siguiente:

Si se tiene un número complejo en la forma polar z = r_Ɵ, donde r es el módulo del número complejo z, y el ángulo Ɵ es llamado amplitud o argumento de cualquier número complejo con  0 ≤ Ɵ ≤ 2π, para calcular su n–ésima potencia no será necesario multiplicarlo por sí mismo n-veces; es decir, no es necesario realizar el siguiente producto:

Zⁿ = z _* z _* z_{*. . .*} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *. . .*} r_Ɵ   n-veces.

Por el contario, el teorema dice que, al escribir z en su forma trigonométrica, para calcular la n-ésima potencia se procede de la siguiente forma:

Si z = r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) entonces zⁿ = rⁿ (cos n*Ɵ + i _* sen n*Ɵ).

Por ejemplo, si n = 2, entonces   z² = r²[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Si se tiene que n = 3, entonces   z³ = z² _* z. Además:

z³ = r²[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] _* r [cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r³[cos 3(Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].

De esa manera pueden obtenerse las razones trigonométricas del seno y coseno para múltiplos de un ángulo, siempre y cuando las razones trigonométricas del ángulo sean conocidas.

De igual manera puede ser utilizada para encontrar expresiones más precisas y menos confusas para la n -ésima raíz de un número complejo z, de modo que zⁿ = 1.

Para demostrar el teorema de Moivre se usa el principio de inducción matemática: si un número entero “a” tiene una propiedad “P”, y si para cualquier número entero “n” mayor que “a” que tenga la propiedad “P” se cumple que n + 1 también tiene la propiedad “P”, entonces todos los números enteros mayores o iguales que “a” tienen la propiedad “P”.

Demostración del teorema de Moivre

De esa forma, la demostración del teorema se hace con los siguientes pasos:

Base inductiva

Primero se comprueba para n = 1.

Como z¹ = (r(cos Ɵ + i _* sen  Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen  Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], se tiene que para n=1 se cumple el teorema.

Hipótesis inductiva

Se supone que la fórmula es cierta para algún entero positivo, es decir, n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen  Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Comprobación

Se prueba que es cierta para n = k + 1.

Como z^k+1= z^k _* z, entonces z^k+1 = (r(cos Ɵ + i _* sen  Ɵ))^k+1 = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Luego se multiplican las expresiones:

z^k+1 = r^k+1( (cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Por un momento se ignora el factor r^k+1,  y se saca factor común i:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i(cos kƟ)_*(senƟ) + i( sen kƟ)_*(cosƟ) + i²( sen kƟ)_*(senƟ).

Como i² = -1, lo sustituimos en la expresión y se obtiene:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i(cos kƟ)_*(senƟ) + i( sen kƟ)_*(cosƟ) – ( sen kƟ)_*(senƟ).

Ahora se ordena la parte real y la imaginaria:

(cos kƟ)_*(cosƟ) – ( sen kƟ)_*(senƟ) + i[( sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Para simplificar la expresión se aplican las identidades trigonométricas de suma de ángulos para el coseno y seno, que son:

cos (A+B) = cos A _* cos B – sen A _* sen B.

sen (A+B) = sen A _* cos B –  cos A _* cos B.

En este caso, las variables son los ángulos Ɵ y kƟ. Aplicando las identidades trigonométricas, se tiene:

cos kƟ _* cosƟ –  sen kƟ _* senƟ = cos(kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen(kƟ + Ɵ)

De esa forma, la expresión queda:

z^k+1 = r^k+1 (cos(kƟ + Ɵ) + i _* sen(kƟ + Ɵ))

z^k+1 = r^k+1(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sen[(k +1) Ɵ]).

Así pudo demostrarse que el resultado es verdadero para n = k+1. Por el principio de inducción matemática, se concluye que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos; es decir, n ≥ 1.

Entero negativo

El teorema de Moivre también es aplicado cuando n ≤ 0. Consideremos un entero negativo “n”; entonces “n” puede escribirse como “-m”, es decir n=-m, siendo “m” un entero positivo. Por lo tanto:

(cos Ɵ + i _* sen  Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen  Ɵ) ^-m

Para obtener el exponente “m” de forma positiva, la expresión se es escribe de forma inversa:

(cos Ɵ + i _* sen  Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen  Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen  Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Ahora, se utiliza que si z=a+b*i es un número complejo, entonces 1÷z = a-b*i. Por lo tanto:

(cos Ɵ + i _* sen  Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) – i _* sen (mƟ).

Utilziando que cos(x)=cos(-x) y que -sen(x)=sen(-x), se tiene que:

(cos Ɵ + i _* sen  Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) – i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen  Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen  Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) – i _* sen (nƟ).

De esa forma, se puede decir que el teorema aplica para todos los valores enteros de “n”.

Ejercicios resueltos

Cálculo de potencias positivas

Una de las operaciones con números complejos en su forma polar es la multiplicación entre dos de estos; en ese caso se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

Si se tienen dos número complejos z₁ y z₂ y se quiere calcular (z₁*z₂)², entonces se procede de la siguiente manera:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + i _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + i _* sen Ɵ₂)]

Se aplica la propiedad distributiva:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_1* i _* sen Ɵ₂ + i _* sen Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂).

Se agrupan, sacando el término “i” como factor común de las expresiones:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Como i² = -1, se sustituye en la expresión:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂) – sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Se reagrupan los términos reales con reales, e imaginarios con imaginarios:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ – sen Ɵ_1* sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂)]

Para finalizar, se aplican las propiedades trigonométricas:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

En conclusión:

(z₁*z₂)²=(r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= r₁²r₂²[cos 2*(Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2*(Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Ejercicio 1

Escribir el número complejo en forma polar si z = – 2 -2i. Luego, utilzando el teorema de Moivre, calcular z⁴.

Solución

El número complejo z = -2 -2i está expresado en la forma rectangular z = a +bi, donde:

a = -2.

b = -2.

Sabiendo que la forma polar es z = r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ), se necesita determinar el valor del módulo “r” y el valor del argumento “Ɵ”. Como r=√(a²+b²), se sustituyen los valores dados:

r = √(a²+b²) = √((-2)²+(-2)²)

= √(4+4)

= √(8)

= √(4*2)

= 2√2.

Luego, para determinar el valor de “Ɵ”, se aplica la forma rectangular de este, que es dada por la fórmula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Como la tan(Ɵ)=1 y se tiene que a0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan(1) + Π.

= Π/4 + Π

= 5Π/4.

Como ya se consiguió el valor de “r” y “Ɵ”, el número complejo z = -2 -2i puede ser expresado en la forma polar sustituyendo los valores:

z=  2√2(cos(5Π/4) + i _* sen(5Π/4)).

Ahora se usa el teorema de Moivre para calcular z⁴:

z⁴=2√2(cos(5Π/4) + i _* sen(5Π/4))⁴

= 32(cos(5Π) + i _* sen(5Π)).

Ejercicio 2

Hallar el producto de los números complejos expresándolo en su forma polar:

z1 = 4(cos 50^o + i_* sen 50^o)

z2 = 7(cos 100^o + i_* sen 100^o).

Luego, calcular (z1*z2)².

Solución

Primero se forma el producto de los números dados:

z₁ z₂ = [4(cos 50^o + i_* sen 50^o)] * [7(cos 100^o + i_* sen 100^o)]

Luego se multiplican los módulos entre sí, y se suman los argumentos:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

Se simplifica la expresión:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* sen 150^o).

Finalmente, se aplica el teorema de Moivre:

(z1*z2)²= (28 _* (cos 150^o + (i_* sen 150^o))² = 784(cos 300^o + (i_* sen 300^o)).

Cálculo de potencias negativas

Para dividir dos números complejos z₁ y z₂ en su forma polar, el módulo es dividido y se restan los argumentos. Así, el cociente es z₁ ÷ z₂ y se expresa de la siguiente manera:

z₁ ÷ z₂ = r1/r2 ([cos (Ɵ₁– Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ – Ɵ₂)]).

Como en el caso anterior, si se quiere calcular (z1 ÷ z2)³ primero se efectúa la división y luego se utiliza el teorema de Moivre.

Ejercicio 3

Dados:

z1 = 12 (cos(3π/4) + i*sen(3π/4)),

z2 = 4 (cos(π/4) + i*sen(π/4)),

calcular (z1 ÷ z2)³.

Solución

Siguiendo los pasos descritos anteriormente se puede concluir que:

(z1 ÷ z2)³ = ((12/4)(cos(3π/4 – π/4) + i*sen(3π/4 – π/4)) )³

= (3(cos(π/2) + i*sen(π/2)))³

= 27(cos(3π/2) + i*sen(3π/2)).

Referencias

1. Arthur Goodman, L. H. ( 1996). Algebra y trigonometría con geometría analítica. Pearson Educación.
2. Croucher, M. (s.f.). De Moivre’s Theorem for Trig Identities. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra y Trigonometría.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Educación.
6. Stanley, G. (s.f.). Álgebra Lineal. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculo. Pearson Educación.