Números impares: qué son, cómo distinguirlos, ejemplos, ejercicios

¿Qué son los números impares?

Los números impares son aquellos números enteros que no son divisibles por 2. Esto significa que con cantidades impares no se pueden hacer grupos de a 2, por ejemplo, si alguien tiene 9 caramelos para compartir con un amigo y no quiere dividir ninguno, a uno le tocarán 4 caramelos y al otro 5.

Algunos de los números impares son los siguientes: … -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… En esta expresión los puntos suspensivos señalan que hay más números, tanto a la izquierda como a la derecha.

Mirando con detenimiento, se puede ver que cada número impar se puede obtener sumando 2 al número precedente. Por ejemplo, si sumamos 2 a -1 se obtiene 1, si hacemos 1 + 2 resulta 3 y así sucesivamente.

También se observa que si se intercalan los pares, incluyendo al 0, que se considera un número par, se obtiene el conjunto de los números enteros Z.

Por eso cualquier número natural impar se puede escribir de la forma 2n + 1, donde n = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5…, donde el símbolo ± significa que se puede tomar n como positivo o como negativo.

En el caso de los números más grandes, se puede reconocer cuando se trata de un impar, porque siempre termina en 1, 3, 5, 7 o 9. Por ejemplo, 1571 es impar y también lo es el entero negativo -152.489.

Ejemplos de números impares

Los números impares se presentan con frecuencia en la naturaleza, y entre ellos el número 3 es de especial significancia. Veamos algunos ejemplos:

-Hay muchas flores con número impar de pétalos.

-Tenemos 5 dedos en cada mano.

-Los seres humanos tienen 23 pares de cromosomas.

-Existen las 3 leyes de Newton y las 3 leyes de la termodinámica.

-Los núcleos de los átomos que tienen número impar de protones y neutrones son menos estables que aquellos con número par.

-Los reyes magos son 3.

-En las historias y en los cuentos aparece el número 3 con frecuencia, por ejemplo novelas como Los tres mosqueteros de Alejandro Dumas y en cuentos populares como Los tres hermanos y Los tres cerditos.

-Para la composición artística existe la llamada regla de los impares, la cual establece que una composición con número impar de elementos es más atractiva que una con número par. El número impar agrega dinamismo, mientras que uno par aporta estabilidad.

-Una estrategia común para hacer que los precios de los objetos parezcan más baratos es hacer que terminen en 9, por ejemplo 2.99 $, 39 $ y así por el estilo.

-El número 13 es considerado de mala suerte por algunos, mientras que otros atribuyen cualidades místicas al 11, ambos números impares.

Los números primos

Los números primos, aquellos que solamente admiten como divisores a sí mismos y al 1, son impares, con la excepción del 2, que es el único número primo par.

Es posible demostrar que cualquier número se puede descomponer como un producto de factores primos (incluyendo potencias de estos), y que esta manera de expresar el número es única, salvo en el orden de los factores.

Por ejemplo, el número 45 se puede descomponer como 45 = 3³ x 5.

Operaciones con números impares

Con los números impares se llevan a cabo todas las operaciones aritméticas, y algunas tienen características resaltantes.

– Sumas y productos

-La suma de dos números impares resulta en un número par: 3+5 = 8;  11+15=26; (-10)+ (+6) = – 4.

-Al sumar un número impar con uno par, el resultado es impar: 7+2 = 9; 26+ 9 = 35; (-5) + 12 = 7.

-Si se suman los n primeros números naturales, impares y consecutivos el resultado es n². Vamos a ver esto con un poco más de detalle:

Para n = 2: 1 + 3 = 4 = 2²

Para n = 3: 1 + 3 + 5 = 9 = 3²

Para n = 4: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

-Cuando se multiplica un impar por un par, se origina un número par: 7 x 4 = 28; (-3) x 12 = -36.

-Multiplicando dos números impares se obtiene un impar también: 3 x 5 = 15; (-5) x (+11) = -55.

– Potencias

-Cuando se eleva un número positivo a una potencia impar, resulta un número positivo, por ejemplo: 3³ = 27.

-Al elevar un número negativo a una potencia impar, el resultado es negativo: (-2)³= (-2) x (-2) x (-2) = -8.

-Las potencias impares de enteros positivos se pueden lograr si se disponen los números impares como se muestra en la figura y se van sumando las filas:

Ejercicios resueltos

– Ejercicio 1

Decidir si el resultado de la siguiente operación es par o es impar:

(53476890083  + 1987628967) x 13567903

Solución

Para obtener la respuesta no hay que correr a buscar una calculadora, sino aplicar las propiedades vistas. Fijémonos en los últimos dígitos de los sumandos, los cuales son 3 y 7 respectivamente:

53476890083  + 1987628967

Esto significa que los sumandos son impares y ya sabemos que la suma de dos números impares es par.

Por lo tanto, la cifra que resulta del paréntesis es par y la vamos a multiplicar por un número que termina en 3:

13567903

Lo que significa que este número es impar.

En las propiedades descritas arriba se estableció que multiplicar par x impar resulta un número par. Por lo tanto, la operación resultante es par.

– Ejercicio 2

¿Cuánto vale la suma de los primeros 5 números impares consecutivos? ¿Y la de los primeros 50?

Solución

La suma de los primeros 5 números impares consecutivos es:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Pero si queremos sumar los 50 primeros de esta forma resulta engorroso, así que nos vamos a las propiedades. En ellas se afirma que la suma de los números impares consecutivos es n². En este caso n = 50 y la suma pedida es:

50² = 50 x 50 = 2500.

– Ejercicio 3

Cuando se suman tres números impares consecutivos se obtiene 237. ¿Cuáles son los números?

Solución

Llamemos x a nuestro primer número impar, y al segundo y z al tercero, de acuerdo al enunciado se cumple que:

x + y + z = 237

En lenguaje algebraico, cualquier número impar se puede escribir de la forma 2n +1. Hagamos que nuestro primer número impar sea:

x = 2n +1

Agreguemos 2 para obtener el siguiente impar:

y = x + 2 = (2n + 1) + 2 = 2n + 3

Y por último se añade otra vez 2 para obtener el tercer impar:

z = (2n +3) + 2 = 2n + 5

Se suma todo esto:

2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 237

6n + 9 = 237

Que resulta en una ecuación lineal sencilla, cuya solución es:

n = 38

Y ahora con el valor de n = 38 se encuentran los tres números pedidos:

x = (2×38) + 1 = 77

Los siguientes son impares consecutivos, por lo tanto:

y = 79

z = 81

Y el lector puede verificar fácilmente que la suma de los tres es 237.

Referencias

1. Baldor, A. 1986. Aritmética. Ediciones y Distribuciones Códice.
2. Barrios, L. Los números impares y las potencias de los números naturales. Recuperado de: sinewton.org.
3. Brilliant. Even and odd numbers. Recuperado de: brilliant.org.
4. Matemáticas 18. Operaciones con números impares. Recuperado de: matematicas18.com.
5. Wikipedia. Números pares e impares. Recuperado de: es.wikipedia.org.