Simetría axial: propiedades, ejemplos y ejercicios
La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra figura mediante una mediatriz recta denominada eje de simetría. También es denominada simetría radial, rotacional o cilíndrica.
Suele aplicarse en figuras geométricas, pero es fácilmente observable en la naturaleza, ya que hay animales como mariposas, escorpiones, mariquitas o propiamente los humanos que presentan simetría axial.
Índice del artículo
- 1 Cómo encontrar el simétrico axial
- 2 Propiedades de la simetría axial
- 3 Ejemplos de simetría axial
- 4 Ejercicios de simetría axial
- 5 Referencias
Para encontrar el simétrico axial P’ de un punto P respecto de una recta (L) se realizan la siguientes operaciones geométricas:
1.- Se traza la perpendicular a la recta (L) que pasa por el punto P.
2.- La intercepción de las dos rectas determina un punto O.
3.- Se mide la longitud del segmento PO, luego se copia esta longitud sobre la recta (PO) partiendo de O en la dirección de P a O determinando el punto P’.
4.- El punto P’ es el simétrico axial del punto P respecto del eje (L), ya que la recta (L) es mediatriz del segmento PP’ siendo O el punto medio de dicho segmento.
– La simetría axial es isométrica, es decir, que se conservan las distancias de una figura geométrica y su correspondiente simétrica.
– La medida de un ángulo y la de su simétrico son iguales.
– El simétrico axial de un punto sobre el eje de simetría es el propio punto.
– La recta simétrica de una recta paralela al eje de simetría es también una recta paralela a dicho eje.
– Una recta secante al eje de simetría tiene como recta simétrica otra recta secante que, a su vez, interseca al eje de simetría en el mismo punto de la recta original.
– La imagen simétrica de una recta es otra recta que forma un ángulo con el eje de simetría de la misma medida que el de la recta original.
– La imagen simétrica de una recta perpendicular al eje de simetría es otra recta que se superpone a la primera.
– Una recta y su recta simétrica axial forman un ángulo cuya bisectriz es el eje de simetría.
La naturaleza exhibe abundantes ejemplos de simetría axial. Por ejemplo se puede observar la simetría de los rostros, de los insectos como las mariposas, el reflejo sobre superficies de aguas tranquilas y espejos o las hojas de las plantas, entre muchos otros.
Se tiene el triángulo de vértices A, B y C cuyas coordenadas cartesianas son respectivamente A=(2, 5), B=(1, 1) y C=(3,3). Hallar las coordenadas cartesianas del triángulo simétrico respecto al eje Y (eje de las ordenadas).
Solución: Si un punto P tiene coordenadas (x, y) entonces su simétrico respecto del eje de las ordenadas (eje Y) es P’=(-x, y). Es decir que el valor de su abscisa cambia de signo, mientras que el valor de la ordenada permanece igual.
En este caso, el triángulo simétrico de vértices A’, B’ y C’ tendrá coordenadas:
A’=(-2, 5); B’=(-1, 1) y C’=(-3, 3) como puede comprobarse en la figura 6.
En referencia al triángulo ABC y su simétrico A’B’C’ del ejercicio 1, comprobar que los lados correspondientes del triángulo original y su simétrico tienen la misma longitud.
Solución: Para hallar la distancia o longitud de los lados usamos la fórmula de la distancia euclidiana:
d(A, B) = √( (Bx – Ax)^2 + (By – Ay)^2 ) = √((1-2)^2 + (1-5)^2 ) = √((-1)^2 + (-4)^2 ) = √(17) = 4,123
A continuación se calcula la longitud del lado simétrico correspondiente A’B’:
d(A’,B’) = √( (Bx’-Ax’)^2 + (By’-Ay’)^2 ) = √((-1+2)^2 +(1-5)^2 ) = √((1)^2 + (-4)^2 ) = √(17) = 4,123
De esta forma, se comprueba que la simetría axial preserva la distancia entre dos puntos. Puede repetirse el procedimiento para los otros dos lados del triángulo y su simétrico para comprobar la invarianza en la longitud. Por ejemplo |AC| = |A’C’| = √5 = 2,236.
En relación al triángulo ABC y su simétrico A’B’C’ del ejercicio 1, compruebe que los ángulos correspondientes del triángulo original y su simétrico tienen la misma medida angular.
Solución: Para determinar las medidas de los ángulos BAC y B’A’C’ se calculará en primer lugar el producto escalar de los vectores AB con AC y luego el producto escalar de A’B’ con A’C’.
Recordando que:
A=(2, 5), B=(1, 1) y C=(3,3)
A’=(-2, 5); B’=(-1, 1) y C’=(-3, 3).
Se tiene:
AB = 1-2, 1-5> y AC = 3-2, 3-5>
similarmente
A’B’ = -1+2, 1-5> y AC = -3+2, 3-5>
Luego se hallan los siguientes productos escalares:
AB⋅AC = -1, -4>⋅1, -2> = -1⋅1 + (-4)⋅(-2) = -1 + 8 = 7
Similarmente
A’B’⋅A’C’ = 1, -4>⋅-1, -2> = 1⋅(-1) + (-4)⋅(-2) = -1 + 8 = 7
La medida del ángulo BAC es:
∡BAC = ArcCos( AB⋅AC / (|AB|⋅|AC|)) =
ArcCos( 7 / (4,123⋅2,236))= 40,6º
Similarmente, la medida del ángulo B’A’C’ es:
∡B’A’C’ = ArcCos( A’B’⋅A’C’ / (|A’B’|⋅|A’C’|)) =
ArcCos( 7 / (4,123⋅2,236))= 40,6º
Concluyendo que la simetría axial preserva la medida de los ángulos.
Sea un punto P de coordenadas (a, b). Hallar las coordenadas de su simétrico axial P’ respecto de la recta y=x.
Solución: Llamaremos (a’, b’) a las coordenadas del punto simétrico P’ respecto a la recta y=x. El punto medio M del segmento PP’ tiene coordenadas ( (a+a’)/2, (b+b’)/2 ) y además está sobre la recta y=x, por lo que se cumple la siguiente igualdad:
a + a’ = b + b’
Por otra parte, el segmento PP’ tiene pendiente -1 por ser perpendicular a la recta y=x de pendiente 1, por lo que se cumple la siguiente igualdad:
b – b’ = a’ -a
Despejando de las dos igualdades anteriores a’ y b’ se concluye que:
a’ = b y que b’ = a.
Es decir, dado un punto P(a, b), su simétrico axial respecto de la recta y = x es P’(b, a).
- Arce M., Blázquez S y otros. Transformaciones del plano. Recuperado de: educutmxli.files.wordpress.com
- Cálculo cc. Simetría axial. Recuperado de: calculo.cc
- Superprof. Simetría axial. Recuperado de: superprof.es
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- wikipedia. Circular Symmetry. Recuperado de: en.wikipedia.com