Factorización por factor común: ejemplos y ejercicios
La factorización por factor común de una expresión algebraica consiste en determinar dos o más factores cuyo producto sea igual a la expresión propuesta. De esta forma, buscando el factor común, se inicia siempre el proceso de factorización.
Para ello se observa si hay presencia de un término común, que puede ser tanto de letras como de números. Para el caso de las letras, se toma como factor común las literales comunes a todos los términos que tengan el menor exponente, y para los números, se calcula el máximo común divisor (MCD) de todos los coeficientes.
El producto de ambos factores comunes, siempre que sea diferente de 1, será el factor común de la expresión. Una vez hallado, por división de cada término entre dicho factor, se establece la factorización definitiva.
Acá va un ejemplo de cómo hacerlo, al factorizar este trinomio:
4x5-12x3+8x2
Se ve que todos los términos contienen el literal “x”, cuya menor potencia es x2. En cuanto a los coeficientes numéricos: 4, -12 y 8 son todos múltiplos de 4. Por lo tanto el factor común es 4x2.
Una vez encontrado el factor, se divide cada término de la expresión original entre él:
- 4x5 / 4x2 = x3
- -12x3 / 4x2 = -3x
- 8x2/ 4x2 = 2
Finalmente se reescribe la expresión como el producto del factor común y la suma de los resultados de las operaciones anteriores, así:
4x5-12x3+8x2 = 4x2 (x3 – 3x +2)
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Si el factor común no resulta evidente como en el ejemplo anterior, todavía es posible factorizar observando cuidadosamente la expresión, a ver si es posible implementar alguno de los siguientes métodos:
Es una expresión binomial de la forma:
a2 – b2
Que se puede factorizar mediante la aplicación del producto notable:
a2 – b2 = (a+b)⋅(a-b)
El procedimiento es el siguiente:
-Primero extraer la raíz cuadrada de cada uno de los cuadrados perfectos.
-Luego formar el producto entre la suma de dichas raíces y su diferencia, como se indicó.
Los trinomios de la forma:
x2 ± 2a⋅x + a2
Se factorizan mediante el producto notable:
(x+a)2 = x2 ± 2a⋅x + a2
Para aplicar esta factorización hay que corroborar que el trinomio en efecto posee dos cuadrados perfectos, y que el término restante es el doble producto de las raíces cuadradas de dichos valores.
Si el trinomio a factorizar no posee dos cuadrados perfectos, se prueba a escribirlo como el producto de dos términos:
x2 + mx + n = x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Donde se debe cumplir siempre que:
n = a⋅b
m = a+b
En ocasiones la expresión a factorizar no tiene un factor común, ni tampoco corresponde a alguno de los casos antes descritos. Pero si el número de sus términos es par, se puede intentar este procedimiento:
-Agrupar parejas que tengan un factor común.
-Factorizar cada pareja mediante factor común, de forma tal que los términos entre paréntesis sean iguales, es decir, para que a su vez el paréntesis sea un factor común. Si con la agrupación elegida no resulta, hay que intentar con otra combinación para encontrarlo.
-La factorización buscada es el producto de los términos dentro del paréntesis por los factores comunes de cada pareja.
Los ejemplos que siguen ayudarán a aclarar los casos discutidos.
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
Este es un ejemplo de factor común. Comenzando por la parte literal, las letras a y b están presentes en los dos términos. Para la variable “a”, el menor exponente es 1 y está en el término 6ab2, mientras que para la letra “b” el menor exponente es b2.
Entonces, ab2 es un factor común en la expresión original.
En cuanto a los números, se tienen 6 y -18, este último es múltiplo de 6, ya que -18 = -(6 × 3). Por lo tanto el 6 es coeficiente numérico del factor común, que multiplicado con la parte literal resulta:
6ab2
Ahora se divide cada término original entre este factor común:
- 6ab2 ÷ 6ab2 = 1
- (-18a2b3)÷ 6ab2 = -3ab
Finalmente se reescribe la expresión original como producto entre el factor común y la suma algebraica de los términos encontrados en el paso precedente:
6ab2 – 18a2b3 = 6ab2 ⋅(1–3ab)
Esta expresión es una diferencia de cuadrados perfectos, por lo que, al extraer raíz cuadrada a ambos términos se obtiene, respectivamente:
√(16x2) = 4x
√9 = 3
La expresión original se escribe como el producto de la suma de estas raíces cuadradas por su diferencia:
16x2 – 9 = (4x+3)(4x-3)
Se trata de un trinomio de la forma x2 + mx + n, ya que 8 no es cuadrado perfecto de otro número entero, por lo que hay que encontrar dos números a y b tales que cumplan simultáneamente:
- a.b = 8
- a + b = 6
Por tanteo, es decir, probando, los números buscados son 4 y 2, ya que:
4×2 = 8 y 4 + 2 = 6
Entonces:
z2 + 6z + 8 = (z+4)⋅(z+2)
El lector puede comprobar, aplicando propiedad distributiva en el lado derecho de la igualdad, que ambas expresiones son equivalentes.
Esta expresión es candidata a la factorización por agrupación de términos, ya que no hay un factor común evidente a simple vista y además tiene número par de términos.
Se agrupa del siguiente modo, sabiendo que el orden de los sumandos no altera la suma:
2x2 – 3xy + 4x – 6y = (2x2 –3xy) + (4x–6y)
Cada paréntesis tiene su propio factor común:
(2x2 – 3xy) + (4x–6y) = x(2x–3y) + 2(2x–3y)
El factor común definitivo ya se puso de manifiesto: es el paréntesis que se repite en ambos términos (2x -3y).
Ahora se puede volver a factorizar:
- x(2x–3y)÷ (2x–3y) = x
- 2(2x–3y) ÷ (2x–3y) = 2
Por lo tanto:
2x2 – 3xy + 4x – 6y = (2x–3y)(x+2)
De nuevo, el lector puede aplicar la propiedad distributiva a la derecha de la igualdad, para corroborar la igualdad.
Factorizar:
a) y2 – 10y + 25
b) 4x2 + 12xy + 9y2
c) x2 + 5x – 14
d) 3a4 + a3 + 15a + 5
Es un trinomio cuadrado perfecto, se comienza por hallar la raíz cuadrada de los términos cuadrados perfectos:
√ (y2) = y
√ 25 = 5
Se comprueba que el término del centro es el doble producto de estos dos:
10y = 2. 5. y
Y la factorización buscada es:
y2 – 10y + 25 = (y-5)2
La expresión también es un trinomio cuadrado perfecto:
√ (4x2) = 2x
√ (9y2) = 3y
Se verifica el término central:
12xy = 2⋅2x⋅3y
Finalmente:
4x2 + 12xy + 9y2 = (2x+3y)2
El problema es de un trinomio del tipo x2 + mx + n:
n = a⋅b = -14 = 7 x (- 2)
m = a+b = 5 = 7 + (- 2) = 5
Los números apropiados son 7 y -2:
x2 + 5x – 14 = (x +7) (x – 2)
3a4 + a3 + 15a + 5 = (3a4 + a3) + (15a + 5)
El factor común de (3a4 + a3) es a3 y el de (15a + 5) es 5, quedando agrupados así:
(3a4 + a3) + (15a + 5) = a3 (3a+1) + 5(3a+1) = (3a+1)(a3 + 5)
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