Operaciones básicas en matemática (con ejemplos)

¿Qué son las operaciones básicas?

Las operaciones básicas en matemática son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Algunos autores consideran adicionalmente tres operaciones más: potenciación,  radicación y logaritmo. Dichas operaciones básicas se aplican tanto a los números como a las expresiones algebraicas.

Cuando las operaciones básicas se llevan a cabo con los números, se trata de aritmética. Cuando se llevan a cabo con expresiones algebraicas se trata de álgebra. En ambos el dominio de las operaciones básicas es fundamental, así como en el ámbito de las matemáticas más avanzadas y sus aplicaciones a otras ciencias.

En este sentido las calculadoras electrónicas son de gran ayuda, pese a ello, es altamente recomendable experimentar la resolución “a mano” de estas operaciones para comprender a cabalidad el sentido y la utilidad de cada una.

Veamos los 7 tipos principales de operaciones básicas:

Suma o adición

La adición consiste en añadir o unir elementos de naturaleza similar. Sean los valores “a” y “b”, que al sumarlos da como resultado el número c:

a + b = c

A las cantidades a y b se les llaman sumandos, y al resultado c se le llama suma. Por ejemplo:

5 + 3 = 8

Ejemplos de sumas

• 1 + 3 = 4
• 4 + 4 = 8
• 8 + 5 = 13
• 13 + 6 = 19

Propiedades de la suma

Conmutatividad

El orden de los sumandos no altera la suma, es decir:

a + b = b + a

5 + 3 = 3 + 5 = 8

Asociatividad

El orden en que se agrupen los sumandos no cambia el resultado. Por ejemplo, si hay tres sumandos, se pueden sumar los dos primeros y al resultado añadir el último. O se pueden sumar los dos últimos y a lo que de se le añade el primer, así:

(a + b) + c = a + (b + c)

(10 + 4) + 25 = 10 + (4 + 25) = 39

Elemento neutro

Es el elemento que al sumarlo a otro da como resultado este segundo elemento. Ese valor es el 0, ya que:

0 + a = 0

0 + 5 = 5

Opuesto

El opuesto a un número es aquel que al ser sumado con él da 0 como resultado. Si el número es “a”, su opuesto es “−a”, de manera que:

a + (−a) = 0

12 + (−12) = 0

Resta o sustracción

Sea un número “a”, que recibe el nombre de minuendo, porque su valor va a disminuir de acuerdo a otro número “b”, llamado sustraendo. La resta consiste en quitarle a “a” la cantidad “b”, para dar lugar a la nueva cantidad “c”, llamada sustracción, resta o diferencia:

a − b = c

Si la resta se lleva a cabo con números naturales, el minuendo siempre es mayor que el sustraendo.

7 − 3 = 4

Pero la resta también se puede llevar a cabo con números enteros, fraccionarios, reales o complejos, si se la define como la suma del opuesto y se aplica convenientemente la ley de los signos:

a − b =  a + (− b)

Donde (− b) es el opuesto a b. Por ejemplo, supóngase que se quiere efectuar la resta:

3 − 14

Entonces se la expresa como la suma del opuesto a 14, que es − 14:

3 + (− 14)

Y la ley de los signos dice que al sumar dos números de distintos signos, se restan el mayor y el menor, y al resultado se coloca el signo del mayor:

3 + (− 14) = − 11

Es importante destacar que la sustracción no es conmutativa, es decir que en general:

a − b ≠ b − a

Ejemplos de restas

• 10 − 3 = 7
• 20 − 7 = 13
• 13 − 8 = 5
• 30 − 20 = 10

Multiplicación o producto

Entre dos cantidades “a” y “b”, llamadas factores, su producto consiste en sumar b, tantas veces como lo indique el valor de a. La multiplicación se denota con el símbolo “×” o con el punto a media altura “∙”:

a × b = a ∙ b = c

Por ejemplo el producto 4 × 6 significa que se debe sumar el 6 cuatro veces:

4 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24

O alternativamente se puede sumar el 4 seis veces, para obtener el mismo resultado, ya que el orden de los factores no cambia el producto:

4 × 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

Ejemplos de multiplicación

• 7 × 3 = 21
• 8 × 6 = 48
• 9 × 3 = 27
• 5 × 5 = 25

Propiedades de la multiplicación

Conmutatividad

El orden de los factores no altera el producto, como se dijo antes:

a × b = b × a

3 × 5 = 5 × 3=15

Asociatividad

Cuando se tiene el producto de tres o más factores, se puede agrupar de la manera más conveniente:

(a × b) × c = a × (b × c)

(4 × 3) × 7 = 4 × (3 × 7)=84

Elemento neutro

Al multiplicar un valor cualquiera por el elemento neutro, el valor no se altera, por lo que dicho elemento neutro es el 1:

a × 1 = a

5 × 1 = 5

Recíproco o inverso

El inverso multiplicativo de un elemento es otro valor tal que el producto de ambos sea 1. Sea el elemento “a” , entonces su recíproco es:

Si un número “a” se multiplica por la suma (b + c), la multiplicación se puede distribuir entre los sumandos así:

a × (b + c ) = a × b + a × c

A modo de ejemplo:

3 × (10 + 12) = 3 × 10 + 3 × 12 = 30 + 36 = 66

División

Consiste en repartir una cantidad llamada dividendo entre otra, que es el divisor, siendo el cociente el resultado de la operación. Para denotarla se utilizan indistintamente los símbolos: “÷”, “:” y “/”, con el dividendo a la izquierda del símbolo y el divisor a la derecha.

La división puede ser exacta si el divisor está contenido exactamente en el dividendo un cierto número de veces, pero si no, hay una parte que sobra, llamada el residuo.

Sea “a” el dividendo, “b” el divisor, “c” el cociente y “r” el residuo, entonces:

a = (b × c) + r

Por ejemplo:

7 ∟3
1  2

En este ejemplo, a = 7, b = 3, c = 2 y r = 1, y en efecto se comprueba que:

7 = (3×2) + 1 = 6 + 1

En lo que respecta a la división, es importante destacar que:

1. En general a ÷ b ≠ b ÷ a, por lo tanto la división no es conmutativa.
2. El dividendo puede ser cualquier número incluyendo el 0, pero 0 entre cualquier valor siempre es 0: 0 ÷ b = 0
3. La división entre 0 no está definida, por lo tanto el divisor puede tener cualquier valor excepto 0.

Ejemplos de división

• 9 ÷ 3 = 3
• 21 ÷ 3 = 7
• 40 ÷ 2 = 20
• 100 ÷ 4 = 25

Potenciación

La potenciación consiste en multiplicar una expresión, llamada base, por sí misma un determinado número de veces, dado por un valor n llamado exponente. Si la base es “a”, entonces:

aⁿ = a × a × a… × a

Ejemplos de potencias son:

2³ = 2 × 2 × 2 = 8

(−3)⁴ =(−3) × (−3) × (−3)× (−3)= 81

Hay que tomar en cuenta que tanto la base a como el exponente n pueden ser números reales incluyendo al 0. Las potencias siguen estas leyes:

1. aⁿ × a^m = a^{n + m}
2. aⁿ ÷  a^m = a^{n − m}
3. (aⁿ)^m = a^n∙m
4. a⁰ = 1
5. a¹ = a
6. aⁿ∙bⁿ = (a∙b)ⁿ
7. aⁿ ÷ bⁿ = (a ÷ b)ⁿ

Si el exponente es negativo, se puede reescribir así:

Por ejemplo:

Radicación

Es la operación inversa de la potenciación. Por ejemplo, si cierto número x elevado al exponente n es a:

xⁿ = a

Entonces el valor de x es:

Donde “a” es la cantidad subradical y “n” es el índice de la raíz. Por ejemplo:

La forma general de escribir una raíz como exponente fraccionario es:

El índice de la raíz es el denominador de la fracción en el exponente y el numerador es la potencia de la cantidad subradical. Por ejemplo:

Logaritmos

Para averiguar cuanto vale “n” en la expresión bⁿ = c, se define la operación llamada logaritmo. Un logaritmo es, por lo tanto, un exponente:

n = log_b c

Al valor de “b” se le denomina base del logaritmo.

Por ejemplo, se sabe que 2³ = 8, por lo tanto se escribe:

3 = log₂ 8

Que se lee así “El logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3”, lo cual significa que el logaritmo es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Otro ejemplo:

81 = 3⁴

Por lo tanto 4 es el exponente al cual hay que elevar el 3 para obtener 81:

log₃ 81 = 4

Es importante destacar los siguientes aspectos:

1. No existen logaritmos de números negativos ni tampoco de 0.
2. La base siempre es positiva

Propiedades de los logaritmos

1. Logaritmo de la base: log_b b = 1, ya que b¹ = b
2. El logaritmo de 1 es 0, ya que cualquier número elevado a la 0 es igual a 1: log_b 1 = 0.
3. Producto: log_b (a∙b) = log_b a + log_b b
4. Cociente: log_b (a÷b) = log_b a − log_b b
5. Potencia: log_b (aⁿ) = n∙log_b a

Un ejemplo de aplicación del logaritmo del producto es la siguiente:

log₁₀ (2∙4) = log₁₀ 2 + log₁₀ 4 = 0.30103 + 0.60206 = 0.90309

El logaritmo en base 10 o logaritmo decimal es de los más utilizados. En cualquier calculadora científica aparece simplemente como “log”. El lector puede comprobar el resultado con una calculadora científica o con cualquier calculadora online.

Referencias

1. Baldor, A. 2007. Aritmética teórico práctica. Grupo Editorial Patria S.A. de C.V.
2. Math is Fun. Basic Math definitions. Recuperado de: mathisfun.com.
3. Math e Mania. Basic Math operations. Recuperado de: mathemania.com
4. Superprof. Operaciones en Matemática. Recuperado de: superprof.es.
5. Universal Class. The four basic mathematical operations. Recuperado de: universalclass.com.