Prisma hexagonal: qué es, características, fórmulas, área, vértices, aristas
¿Qué es un prisma hexagonal?
Un prisma hexagonal es un cuerpo tridimensional compuesto de dos bases con forma de hexágono y lados con forma de rectángulo o paralelogramo. Se puede encontrar en la naturaleza, en la estructura cristalina de minerales como el berilio, el grafito, el zinc y el litio, por ejemplo.
Los elementos de un prisma hexagonal son la base, la cara, arista, altura, vértice, radio y apotema. A partir de ellos se pueden calcular áreas y volúmenes.
En la figura superior se muestra un prisma hexagonal con caras laterales rectangulares; es decir, un prisma hexagonal recto. Los hexágonos de las bases son regulares, es decir, sus lados y ángulos internos son iguales. Sin embargo, las caras del prisma hexagonal pueden ser hexágonos irregulares.
Características del prisma hexagonal
1- El prisma hexagonal es una figura tridimensional con bases hexagonales.
2- Hay una gran variedad de objetos que responden a esta definición y, sin embargo, son bastante diferentes.
En la siguiente figura hay variedad de prismas hexagonales: a la izquierda un prisma hexagonal recto de caras regulares, a la derecha y abajo dos prismas hexagonales de caras irregulares. El hexágono en la base del prisma de abajo tiene una particularidad: es cóncavo, lo que significa que algunos de sus ángulos internos son mayores de 180°.
En cambio, las bases hexagonales de los prismas de arriba son polígonos convexos: todos los ángulos internos miden menos de 180°.
Elementos del prisma hexagonal
Como todo prisma, el prisma hexagonal se caracteriza por tener los siguientes elementos:
–Bases: en número de dos (2), con forma de hexágono y congruentes, es decir, de igual medida. Las caras hexagonales pueden ser regulares o irregulares.
–Caras: un prisma hexagonal tiene ocho (8) caras en total, que se pueden contar usando la figura 1. De las 8 caras, dos (2) son bases y seis (6) son laterales.
–Arista: es el segmento que une dos bases o dos lados del prisma.
–Altura: es la distancia que hay entre las dos caras del prisma. Coincide con la longitud de la arista en el caso del prisma recto.
–Vértice: punto en común entre una base y dos caras laterales.
Si las bases del prisma son regulares, la simetría de la figura permite definir elementos adicionales propios del hexágono regular de lado a.
–Radio: es la distancia medida desde el centro del hexágono y un vértice cualquiera.
–Apotema: es el segmento que va desde el centro de la cara hexagonal hasta la mitad de uno de los lados.
Con ayuda de estos elementos se calculan áreas y volúmenes, como veremos más adelante.
Fórmulas
Hay numerosas fórmulas relacionadas con el prisma hexagonal. Sirven para calcular el área de sus bases y caras laterales, su volumen y otras características importantes. Son de utilidad las áreas del hexágono regular, del hexágono irregular y del paralelogramo, así como los perímetros.
Perímetro de una figura plana
Es la medida de su contorno, que en el caso de un polígono como el hexágono es la suma de sus lados. Si el hexágono es regular de lado a, hay una fórmula para el perímetro P:
P = 6.a
Área del hexágono regular
Llamemos A al área y LA a la longitud de la apotema. El área viene dada por:
A = P. LA/2= 6a. LA/2
Donde P es el perímetro de la figura.
En función del tamaño del lado a, el área también se puede calcular mediante:
A = 2.5981.a2
Área del hexágono irregular
No hay una fórmula específica, ya que depende del arreglo de los lados, pero el hexágono puede dividirse en triángulos, calcular el área de cada uno y sumarlas.
Otro método para encontrar el área es el de los determinantes de Gauss, para lo cual se requiere conocer las coordenadas de los vértices del hexágono.
Área del paralelogramo
A = base x altura
Si a es la base y h es la altura, el área es:
A = a.h
Área del prisma hexagonal
Es la suma de las áreas de las bases –dos hexágonos- y las de las caras -6 rectángulos o paralelogramos-.
Área del prisma hexagonal regular y recto
Si el prisma hexagonal tiene las bases en forma de hexágonos regulares y las aristas laterales son perpendiculares a dichas bases, su área viene dada por la suma:
A = 2 x 2.5981.a2 + 6a.h
Donde a es lado del hexágono y h es la altura del prisma.
Área del prisma hexagonal irregular y recto
Si las bases son hexágonos irregulares, el área se calcula mediante:
A = 2Abase + P.h
Donde:
-Abase es el área de la base hexagonal irregular.
-P es el perímetro de la base.
-h es la altura del prisma
Vértices
Cada cara hexagonal tiene 6 esquinas o vértices, lo que da un total de 12 vértices para el prisma hexagonal.
Aristas
Existe una fórmula para encontrar la cantidad de aristas de un prisma. Fue descubierta por el gran matemático Leonhard Euler (1707-1783) y se llama teorema de Euler para poliedros. Dice así:
Si C es el número de caras, V la cantidad de vértices V y A el total de aristas. Se cumple que:
C+V = A+2
Las cantidades para el prisma hexagonal son: C = 8 y V = 12. Por lo tanto A es:
A = C + V – 2 = 8 + 12- 2 = 18
Volumen
El volumen V de un prisma cualquiera, ya sea recto u oblicuo, de caras regulares o irregulares, viene dado por:
V = área de la base x altura
Por lo tanto, necesitaremos de las fórmulas para el área que vimos anteriormente.
Por ejemplo, para un prisma hexagonal recto, cuyas bases son hexágonos regulares, el volumen viene dado por:
V = 2.5981.a2.h
Referencias
- Math Open Reference. Area of a polygon. Recuperado de: mathopenref.com.
- Wikipedia. Prisma. Recuperado de: es.wikipedia.com.