Inductancia mutua: fórmula/coeficiente, aplicaciones, ejercicios
La inductancia mutua describe la interacción entre dos bobinas próximas 1 y 2, mediante la cual una corriente variable i circulando por la bobina 1, produce un flujo de campo magnético cambiante que atraviesa a la bobina 2.
Dicho flujo es proporcional a la corriente y la constante de proporcionalidad es la inductancia mutua M12. Sea ΦB2 el flujo de campo magnético a través de la bobina 2, entonces se puede escribir:
ΦB2 = M12 i1
Y si la bobina 2 tiene N2 vueltas:
N2 . ΦB2 = M12 i1
De esta forma, la inductancia mutua o coeficiente de inductancia mutua M12 entre ambas bobinas es:
M12 = N2 . ΦB2 / i1
La inductancia mutua tiene unidades de Weber/Amperio o Wb/A, la cual se denomina henry o henrio y se abrevia H. De allí que 1 henry equivalga a 1 Wb/ A.
El valor de M12 depende de la geometría entre las bobinas, su forma, su tamaño, el número de espiras de cada una y la distancia que las separa, así como la posición relativa entre ellas.
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El fenómeno de la inductancia mutua tiene muchas aplicaciones gracias a que su origen está en la ley de Faraday-Lenz, la cual afirma que corrientes variables en un circuito inducen corrientes y voltajes en otro, sin necesidad de que los circuitos estén conectados mediante cables.
Cuando dos circuitos interactúan de esta manera se dice que están acoplados magnéticamente. De esta forma la energía puede ir de uno a otro, circunstancia que se puede aprovechar de varias formas, tal como lo demostró Nikola Tesla a comienzos del siglo XX (ver ejercicio resuelto 1).
En su empeño por transmitir electricidad sin cables, Tesla experimentó con diversos dispositivos. Gracias a sus descubrimientos, se creó el transformador, el dispositivo que traslada de la energía eléctrica desde las centrales hasta los hogares y las industrias.
El transformador
El transformador transmite voltajes alternos muy elevados en las líneas eléctricas, minimizando así pérdidas por calor y a la vez entregar la máxima energía a los consumidores.
Cuando el voltaje llega a estos debe disminuirse, lo que se logra con el transformador. Este consiste de dos bobinas de alambre enrolladas alrededor de un núcleo de hierro. Una de las bobinas con N1 vueltas está conectada a un voltaje alterno y se llama primario. La otra, que es el secundario, tiene N2 vueltas, se conecta a un resistor.
El núcleo de hierro asegura que todas las líneas de campo magnético que pasan por una bobina también lo hagan por la otra.
La ley de Faraday establece que la razón entre los voltajes V2 /V1 (secundario /primario) es igual a la razón entre el número de vueltas N2 /N1:
V2 /V1 = N2 /N1
Ajustando adecuadamente el número de vueltas, se obtiene a la salida un voltaje mayor o menor que el de la entrada.
Los transformadores se construyen de muchos tamaños, desde transformadores enormes en instalaciones eléctricas hasta los cargadores de teléfonos celulares, laptops, mp3 y otros dispositivos electrónicos.
Los efectos de la inductancia mutua también están presentes en los marcapasos para mantener la frecuencia de los latidos del corazón, de modo que este pueda mantener estable el flujo sanguíneo.
Los marcapasos funcionan con baterías. Cuando estas se agotan, una bobina externa es capaz de transmitir potencia hacia otra bobina que está dentro del marcapasos. Como el procedimiento se realiza por inducción, no es preciso someter al paciente a una nueva intervención cuando la batería se agota.
Mientras que otra aplicación común son los cargadores inalámbricos para diferentes objetos tales como cepillos de dientes y teléfonos celulares, que son dispositivos con bajo consumo eléctrico.
A futuro se plantea el uso de cargadores inalámbricos para baterías de autos eléctricos. Y muchas investigaciones en la actualidad están orientadas a producir electricidad inalámbrica en los hogares. Una de las principales limitaciones por los momentos es la distancia a la que se puede inducir las corrientes gracias a los campos magnéticos.
En una versión de la bobina de Tesla, utilizada como generador de alto voltaje en algunas demostraciones de laboratorio, se tiene un solenoide largo de longitud L, radio R1 con N1 vueltas por unidad de longitud, rodeado coaxialmente por una bobina circular de radio R2 y N2 vueltas.
a) Hallar la inductancia mutua M del circuito, ¿depende de la corriente que circula por el solenoide?
b) ¿Depende la inductancia mutua de la forma de la bobina o de si sus espiras estén más o menos enrolladas juntas?
Solución a
La magnitud del campo magnético del solenoide es proporcional al número de vueltas y a la corriente que circula por él, la cual se denota como i1, ya que el solenoide es el circuito 1. Viene dado por la expresión:
B1 = μoN1.i1 / L
El flujo de campo magnético que el solenoide crea en una espira de la bobina, que es el circuito 2, es el producto de la intensidad del campo por el área enlazada por el campo:
ΦB2 = B1. A1
Donde A1 es el área de la sección transversal del solenoide y no de la bobina, ya que el campo del solenoide es nulo fuera de él:
A1 = π (R1)2
Sustituimos el área en la ecuación para ΦB2:
ΦB2 = B1. π (R1)2 = (μoN1.i1 / L). π (R1)2
Y la inductancia mutua viene dada por:
M12 = N2 . ΦB2 / i1 = N2. [(μoN1.i1 / L). π (R1)2 ] / i1
M12 = μo N1 N2 . π (R1)2 / L
No depende de la corriente que circula por el solenoide, la cual vimos que se cancela.
Solución b
Como vemos, la inductancia mutual no depende de la forma de la bobina, ni tampoco de cuán apretadas estén las espiras. La única influencia de la bobina en la inductancia mutua es el número de espiras presentes en ella, que es N2.
Dos bobinas están muy próximas entre sí y una de ellas conduce una corriente variable en el tiempo dada por la siguiente ecuación:
i (t ) = 5.00 e -0.0250 t sen (377 t) A
En t = 0.800 segundos se mide el voltaje inducido en la segunda bobina, obteniéndose -3.20 V. Hallar la inductancia mutua de las bobinas.
Solución
Utilizamos la ecuación:
ε2 = – M12 (di1/dt)
A la inductancia mutua entre las bobinas la llamamos simplemente M, ya que por lo general M12 = M21. Necesitaremos la primera derivada de la corriente con respecto al tiempo:
di1/dt =
= – 0.0250 x 5.00 e -0.0250 t x sen (377 t) – 377 cos (377 t) x 5.00 e -0.0250 t A/s
Evaluamos esta derivada en t = 0.800 s:
di1/dt = – 0.0250 x 5.00 e -0.0250 x 0.800 x sen (377 x 0.800) – 377 cos (377 x 0.800) x 5.00 e -0.0250 x 0.800 A/s =
= -5.00 e -0.0250 x 0.800 [0.0250 x sen (377 x 0.800) + 377 cos (377 x 0.800)] =
= -1847.63 A/s
M = -3.20 V / -1847.63 A/s = 0.001732 H = 1.73 mH.
- Figueroa, D. (2005). Serie: Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 6. Electromagnetismo. Editado por Douglas Figueroa (USB).
- Hewitt, Paul. 2012. Conceptual Physical Science. 5th. Ed. Pearson.
- Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
- Sears, F. (2009). Física Universitaria Vol. 2.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 2. 7ma. Ed. Cengage Learning.