Aproximación por defecto y por exceso: qué es y ejemplos
La aproximación por defecto y por exceso, es un método numérico usado para establecer el valor de un número según diferentes escalas de exactitud. Por ejemplo el número 235,623, se aproxima por defecto a 235,6 y por exceso a 235,7. Si consideramos a las décimas como cota de error.
Aproximar consiste en reemplazar una cifra exacta por otra, donde dicho reemplazo debe facilitar operaciones de algún problema matemático, conservándose la estructura y esencia del problema.
A ≈B
Se lee; A aproximado de B. Donde “A” representa al valor exacto y “B” al valor aproximado.
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Se conocen como cifras significativas los valores con los que se define un número aproximado. En la aproximación del ejemplo se tomaron cuatro cifras significativas. La precisión de un número está dada por la cantidad de cifras significativas que lo definen.
No se consideran cifras significativas a los infinitos ceros que pueden ubicarse tanto a la derecha como a la izquierda del número. La ubicación de la coma no juega ningún papel en la definición de cifras significativas de un número.
750385
. . . . 00,0075038500 . . . .
75,038500000 . . . . .
750385000 . . . . .
. . . . . 000007503850000 . . . . .
El método es bastante simple; se escoge la cota de error, que no es otra cosa que el rango numérico donde se desea hacer el corte. El valor de este rango es directamente proporcional al margen de error del número aproximado.
En el ejemplo anterior 235,623 posee milésimas ( 623 ). Luego se ha realizado la aproximación hacia las décimas. El valor por exceso ( 235,7 ) corresponde al valor en décimas más significativo que se encuentra inmediatamente después del número original.
Por otra parte el valor por defecto ( 235,6 ) corresponde al valor en décimas más próximo y significativo que se encuentra antes del número original.
La aproximación numérica es bastante corriente en la práctica con números. Otros métodos bastante usados son el redondeo y truncamiento; los cuales responden a distintos criterios para asignar los valores.
Al momento de definir el rango numérico que abarcará el número luego de ser aproximado, también definimos la cota de error que acompaña a la cifra. Esta se denotara con un número racional existente o significante en el rango asignado.
En el ejemplo inicial los valores definidos por exceso ( 235,7 ) y por defecto ( 235,6) poseen un error aproximado de 0,1. En los estudios estadísticos y de probabilidad se manejan 2 tipos de errores con respecto al valor numérico; error absoluto y error relativo.
Los criterios para establecer los rangos de aproximación pueden ser muy variables y están estrechamente relacionados con las especificaciones del elemento a aproximar. En los países con alta inflación, las aproximaciones por exceso obvian algunos rangos numéricos, debido a que estos son menores a la escala inflacionaria.
De esta manera, en una inflación mayor al 100% un vendedor no ajustará un producto de 50$ a 55$ sino que lo aproximará a 100$, obviándose así las unidades y decenas al aproximar directamente a la centena.
Las calculadoras convencionales traen consigo el modo FIX, donde el usuario puede configurar el número de decimales que quiere recibir en sus resultados. Esto genera errores que deben ser considerados a la hora de cálculos exactos.
Aproximación de números irracionales
Algunos valores muy usados en las operaciones numéricas pertenecen al conjunto de los números irracionales, cuya característica principal es poseer una cantidad indeterminada de cifras decimales.
Valores como:
- π = 3,141592654….
- e = 2,718281828…
- √2 = 1,414213562…
Son comunes en las experimentaciones y sus valores deben ser definidos en un rango determinado, tomando en consideración los errores posibles generados.
Para el caso de la división ( 1 ÷ 3 ) se observa mediante la experimentación, la necesidad de establecer un corte en la cantidad de operaciones realizadas para definir el número.
1 ÷ 3 = 0,333333 . . . . . .
1 ÷ 3 3 / 10 = 0,3
1 ÷ 3 33 / 100 = 0,33
1 ÷ 3 333 / 1000 = 0,333
1 ÷ 3 3333 / 10000 = 0,3333
1 ÷ 3 333333 . . . . . / 10000 . . . . . = 0,333333 . . . . .
Se presenta una operación que puede perpetuarse de manera indefinida por lo que se hace necesario aproximar en algún punto.
Para el caso de:
1 ÷ 3 333333 . . . . . / 10000 . . . . . = 0,333333 . . . . .
Se tiene que para cualquier punto establecido como margen de error, se obtendrá un número menor al valor exacto de ( 1 ÷ 3 ). De esta forma todas las aproximaciones realizadas anteriormente, son aproximaciones por defecto de ( 1 ÷ 3 ).
- Cuál de los siguientes números es una aproximación por defecto de 0,0127
- 0,13
- 0,012 ; Es una aproximación por defecto de 0,0127
- 0,01 ; Es una aproximación por defecto de 0,0127
- 0,0128
- Cuál de los siguientes números es una aproximación por exceso de 23,435
- 24 ; es una aproximación por exceso de 23,435
- 23,4
- 23,44 ; es una aproximación por exceso de 23,435
- 23,5 ; es una aproximación por exceso de 23,435
- Defina los siguientes números mediante una aproximación por defecto, con la cota de error indicada.
- 547,2648…. Para las milésimas, centésimas y decenas.
Milésimas: Las milésimas corresponden a las primeras 3 cifras después de la coma, donde luego de ,999 viene la unidad. Se procede a aproximar a 547,264.
Centésimas: Denotadas por las primeras 2 cifras después de la coma, las centésimas deben reunir ,99 para alcanzar la unidad. De esta manera se aproxima por defecto a 547,26.
Decenas: En este caso la cota de error es mucho mayor, debido a que el rango de la aproximación está definido dentro de los números enteros. Al aproximar por defecto en la decena se obtiene 540.
- Defina los siguientes números mediante una aproximación por exceso, con la cota de error indicada.
- 1204,27317 Para las décimas, centenas y unidades.
Décimas: Se refiere al primer digito después de la coma, donde la unidad se compone luego de 0,9. Aproximando por exceso a las décimas se obtiene 1204,3.
Centenas: De nuevo se observa una cota de error cuyo rango está dentro de los números enteros de la cifra. Al aproximar por exceso las centenas se obtiene 1300. Esta cifra se aleja de manera considerable a 1204,27317. Debido a esto las aproximaciones no suelen aplicarse a valores enteros.
Unidades: Al aproximar por exceso a la unidad se obtiene 1205.
- Una costurera corta un tramo de tela de 135,3 cm de largo para hacer una bandera de 7855 cm2. Cuanto medirá el otro lado si utiliza una regla convencional que marca hasta los milímetros.
Aproximar los resultados por exceso y defecto.
El área de la bandera es rectangular y se define por:
A = lado x lado
lado = A / lado
lado = 7855cm2 / 135,3cm
lado = 58,05617147 cm
Debido a la apreciación de la regla podemos obtener datos hasta los milímetros, los cuales corresponde al rango de los decimales con respecto al centímetro.
De esta forma 58cm es una aproximación por defecto.
Mientras que 58,1 es una aproximación por exceso.
- Definir 9 valores que puedan ser números exactos en cada una de las aproximaciones:
- 34,071 resulta de aproximar milésimas por defecto
34,07124 34,07108 34,07199
34,0719 34,07157 34,07135
34,0712 34,071001 34,07176
- 0,012 resulta de aproximar milésimas por defecto
0,01291 0,012099 0,01202
0,01233 0,01223 0,01255
0,01201 0,0121457 0,01297
- 23,9 resulta de aproximar décimas por exceso
23,801 23,85555 23,81
23,89 23,8324 23,82
23,833 23,84 23,80004
- 58,37 resulta de aproximar centésimas por exceso
58,3605 58,36001 58,36065
58,3655 58,362 58,363
58,3623 58,361 58,3634
- Aproximar cada número irracional según la cota de error indicada:
- π = 3,141592654….
Milésimas por defecto π = 3,141
Milésimas por exceso π = 3,142
Centésimas por defecto π = 3,14
Centésimas por exceso π = 3,15
Décimas por defecto π = 3,1
Décimas por exceso π= 3,2
- e = 2,718281828…
Milésimas por defecto e = 2,718
Milésimas por exceso e = 2,719
Centésimas por defecto e = 2,71
Centésimas por exceso e = 2,72
Décimas por defecto e = 2,7
Décimas por exceso e = 2,8
- √2 = 1,414213562…
Milésimas por defecto √2 = 1,414
Milésimas por exceso √2 = 1,415
Centésimas por defecto √2 = 1,41
Centésimas por exceso √2 = 1,42
Décimas por defecto √2 = 1,4
Décimas por exceso √2 = 1,5
- 1 ÷3 = 0,3333333 . . . . .
Milésimas por defecto 1 ÷3 = 0,332
Milésimas por exceso 1 ÷3 = 0,334
Centésimas por defecto 1 ÷3 = 0,33
Centésimas por exceso 1 ÷3 = 0,34
Décimas por defecto 1 ÷3 = 0,3
Décimas por exceso 1 ÷3 = 0,4
- Problems in Mathematical Analysis. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Poland.
- Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
- The Arithmetic Teacher, Volumen 29. National Council of Teachers of Mathematics, 1981. Universidad de Michigan.
- Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction / edited by Stephen R. Campbell and Rina Zazkis. Ablex publishing 88 Post Road West, Westport CT 06881.
- Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.