Aparejo factorial: definición, fórmulas y ejercicios
El aparejo factorial es una máquina simple que consta de un arreglo de poleas con un efecto multiplicador de la fuerza. De esta forma se puede levantar una carga aplicando apenas el equivalente a una fracción del peso sobre el extremo libre de la cuerda.
Consta de dos conjuntos de poleas: uno que está fijo a un soporte y otro que ejerce la fuerza resultante sobre la carga. Las poleas están montadas sobre un armazón generalmente metálico que las sujeta.
La figura 1 muestra un aparejo factorial que consta de dos grupos de dos poleas cada uno. A este tipo de arreglos de poleas también se les denomina aparejo en serie o polipastos.
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Para entender por qué este arreglo multiplica la fuerza ejercida, comenzaremos con el caso más sencillo, que consta de una polea fija y otra móvil.
En la figura 2 tenemos una polea A fija al techo mediante un soporte. La polea A puede rotar libremente alrededor de su eje. También tenemos una polea B que tiene un soporte fijado al eje de la polea, en el cual se coloca la carga. La polea B, además de poder rotar libremente alrededor de su eje, tiene la posibilidad de trasladarse verticalmente.
Supongamos que estamos en una situación de equilibrio. Consideremos las fuerzas que actúan sobre la polea B. El eje de la polea B soporta un peso total P que va dirigido hacia abajo. Si esta fuese la única fuerza sobre la polea B entonces caería, pero sabemos que la cuerda que pasa a través de esta polea ejerce también dos fuerzas, que son las T1 y T2 que van dirigidas hacia arriba.
Para que exista equilibrio traslacional, las dos fuerzas hacia arriba deben ser iguales al peso que soporta el eje de la polea B.
T1 + T2 = P
Pero como la polea B también está en equilibrio rotacional, entonces T1 = T2. Las fuerzas T1 y T2 provienen de la tensión aplicada a la cuerda, llamada T.
Por lo tanto T1 = T2 = T. Sustituyendo en la ecuación anterior queda:
T + T = P
2T = P
Lo que indica que la tensión aplicada a la cuerda es apenas la mitad del peso:
T = P/2
Por ejemplo, si la carga fuese de 100 kg bastaría con aplicar una fuerza de 50 kg en el extremo libre de la cuerda para subir la carga a velocidad constante.
Pasemos a considerar las tensiones y fuerzas que actúan sobre un conjunto que consta de dos arreglos de soportes A y B con dos poleas cada uno.
El soporte B tiene la posibilidad de trasladarse verticalmente, y las fuerzas que actúan sobre el son:
– El peso P de la carga, que apunta verticalmente hacia abajo.
– Dos tensiones sobre la polea grande y dos tensiones sobre la polea pequeña. En total, cuatro tensiones, todas ellas apuntando hacia arriba.
Para que haya equilibrio traslacional es necesario que las fuerzas que apuntan verticalmente hacia arriba igualen en valor a la carga que apunta hacia abajo. Es decir, que debe cumplirse:
T + T + T + T = P
Es decir, 4 T = P
De donde se deduce que la fuerza aplicada T en el extremo libre de la cuerda es apenas la cuarta parte del peso debido a la carga que quiere elevarse., T = P / 4.
Con este valor para la tensión T, la carga puede mantenerse estática o subirse con velocidad constante. Si se aplicase una tensión mayor que este valor entonces la carga se aceleraría hacia arriba, condición que es necesaria para sacarla del reposo.
De acuerdo con lo visto en los casos anteriores, por cada polea del conjunto móvil hay un par de fuerzas hacia arriba ejercidas por la cuerda que pasa por la polea. Pero esta fuerza no puede ser otra cosa que la tensión aplicada a la cuerda en el extremo libre.
De modo que por cada polea del conjunto móvil habrá una fuerza vertical hacia arriba que vale 2T. Pero como hay n poleas en el conjunto móvil, se tiene entonces que la fuerza total que apunta verticalmente hacia arriba es:
2 n T
Para que haya equilibrio vertical es necesario que:
2 n T = P
por lo tanto la fuerza aplicada en el extremo libre es:
T = P / (2 n)
En este caso puede decirse que la fuerza ejercida T se multiplica 2 n veces sobre la carga.
Por ejemplo, si tuviésemos un aparejo factorial de 3 poleas fija y 3 móviles, el número n sería igual a 3. Por otro lado, si la carga fuese P = 120 kg, entonces la fuerza aplicada en el extremo libre sería T = 120 kg / (2*3) = 20 kg.
Considere un aparejo factorial compuesto por dos poleas fijas y dos poleas móviles. La máxima tensión que puede soportar la cuerda es de 60 kg. Determine cuál es la máxima carga que puede colocarse.
Solución
Cuando la carga está en reposo o moviéndose con rapidez constante el peso P de la misma, se relaciona con la tensión T aplicada en la cuerda por medio de la siguiente relación:
P = 2 n T
Como se trata de un aparejo de dos poleas móviles y dos fijas, entonces n=2.
La máxima carga que puede colocarse se obtiene cuando T tenga el máximo valor posible, que en este caso es 60 kg.
Carga máxima = 2*2*60 kg = 240 kg
Encuentre la relación entre la tensión de la cuerda y el peso de la carga, en un aparejo factorial de dos poleas en el que la carga se acelera con aceleración a.
Solución
La diferencia de este ejemplo con respecto a lo visto hasta ahora es que hay que considerar la dinámica del sistema. Por lo que planteamos la segunda ley de Newton para encontrar la relación pedida.
En la figura 4 dibujamos en color amarillo las fuerzas debidas a la tensión T de la cuerda. La parte móvil del aparejo tiene una masa total M. Tomamos como sistema de referencia uno a nivel de la primera polea fija y positivo hacia abajo.
Y1 es la posición del eje de la polea más baja.
Aplicamos la segunda ley de Newton para determinar la aceleración a1 de la parte móvil del aparejo:
-4 T + Mg = M a1
Como el peso de la carga es P = Mg, donde g es la aceleración de gravedad, la relación anterior puede escribirse:
-4T + P = P (a1 / g)
Si quisiéramos determinar la tensión aplicada en la cuerda cuando una cierta carga de peso P se acelera con aceleración a1, entonces la relación anterior quedaría así:
T = P ( 1 – a1/g ) / 4
Nótese que si el sistema estuviese en reposo o moviéndose con rapidez constante, entonces a1 = 0, y recuperaíamos la misma expresión que obtuvimos en el caso 2.
En este ejemplo se usa el mismo aparejo del ejercicio 1, con la misma cuerda que soporta como máximo 60 kg de tensión. Cierta carga se eleva, acelerandola desde el reposo hasta 1 m/s en 0,5 s, usando la máxima tensión de la cuerda. Encuentre el peso máximo de la carga.
Solución
Usaremos las expresiones obtenidas en el ejercicio 2 y el sistema de referencia de la figura 4 en la que la dirección positiva es vertical hacia abajo.
La aceleración de la carga es a1 = (-1 m/s – 0 m/s) / 0,5 s = -2 m/s^2.
El peso de la carga en kilogramo-fuerza está dado por
P = 4 T / (1 – a1 / g)
P = 4*60 kg / (1 + 2 / 9.8) = 199,3 kg
Este es el peso máximo posible de la carga sin que la cuerda se rompa. Nótese que el valor obtenido es menor que el obtenido en el ejemplo 1, en el que la carga se suponía con aceleración cero, es decir, en reposo o con velocidad constante.
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