Ejercicios de factorización resueltos
La factorización es el procedimiento algebraico mediante el cual se convierte una expresión algebraica en productos de términos más sencillos. De esta manera, se simplifican muchos cálculos.
Los ejercicios de factorización ayudan a comprender esta técnica, que se utiliza mucho en las matemáticas y consiste en el proceso de escribir una suma como un producto de ciertos términos.
Para factorizar adecuadamente hay que empezar por ver si hay letras y números en común para cada término. Por ejemplo la expresión 5x4 -10x3 + 25x2, que contiene tres términos, se puede factorizar notando que la “x” se repite en cada uno, aunque con diferente potencia. En cuanto a los coeficientes numéricos, todos son múltiplos de 5.
Entonces, el factor común consta de:
-El producto entre el máximo común divisor de los coeficientes y
-La menor potencia de la o las letras que aparezcan.
En el ejemplo, el factor común es:
5x2
Y la expresión queda así:
5x4 – 10x3 + 25x2 = 5x2 ⋅ (x2 – 2x + 5)
El lector puede comprobar mediante la aplicación de la propiedad distributiva, que ambas expresiones son equivalentes.
Índice del artículo
- 1 Métodos de factorización: diferencia de cuadrados
- 2 Factorización de trinomios cuadrados perfectos
- 3 Suma y diferencia de cubos
- 4 Factorización por agrupación de términos
- 5 La raíces de un polinomio
- 6 Otros ejercicios
- 7 Referencias
No todas las expresiones algebraicas se factorizan como acabamos de hacer, por eso aquí vamos a mostrar cómo utilizar varios métodos con ejercicios resueltos paso a paso.
Así, con un poco de práctica, el lector aprende a aplicar el método más conveniente en casos tales como:
-Factorización de binomios y trinomios.
-Factorización de polinomios.
-Cálculo de raíces de polinomios.
El cuadro de la figura 1 es de mucha ayuda cuando surge la pregunta: ¿Qué tipo de factorización usar para un ejercicio?
Comenzaremos con una diferencia de cuadrados, para la cual se aplica la fórmula 1 del cuadro.
Factorizar el binomio 16x2 – 49
Solución
En este ejemplo la potencia no se repite y los coeficientes numéricos no son primos entre sí, como en el ejemplo del principio. Sin embargo, si se verifica que la expresión dada es una diferencia de cuadrados, se puede aplicar la fórmula 1.
Todo lo que se necesita es identificar los términos a y b:
a2 = 16x2 → a = √ (16x2) = 4x
b2 = 49 → b = 49 = 7
Una vez identificados, se procede a sustituir siguiendo la fórmula:
16x2 – 49 = (4x + 7) (4x – 7)
Y la expresión queda como el producto de dos factores.
En este y en todos los casos que siguen, el lector puede corroborar que si desarrolla el resultado con la propiedad distributiva, se obtiene de vuelta la expresión algebraica original.
Estos casos corresponden a las fórmulas 2 y 3 de la figura 1. Sin embargo antes de aplicarla, hay que verificar que en la expresión se cumple que:
-Dos términos son los cuadrados perfectos de a y b.
-El término restante es el doble producto de a y de b, es decir: 2ab.
Si lo anterior es cierto, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se aplican las fórmulas directamente.
Factorizar el trinomio: x2 + 12x + 36
Solución
Esta expresión parece apropiada para aplicar la fórmula 2 del recuadro, pero antes hay que comprobar que se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Primero se observa que tanto el primero como el tercer término son cuadrados perfectos:
- x2 es el cuadrado perfecto de x, puesto que (x)2 = x2
- 36 es el cuadrado perfecto de 6, ya que 62 = 36
Entonces:
a = x
b = 6
Y por último hay que comprobar que el término restante es 2ab, y en efecto:
12x = 2⋅x⋅6
Solo resta factorizar de acuerdo a la fórmula:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Escribir la expresión 4x2 –20x + 25 en forma factorizada.
Solución
Como hay un término con signo negativo podría servir la fórmula 3 del recuadro, sin embargo antes hay que verificar que se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
- 4x2 es el cuadrado de 2x, ya que (2x)2 = 4x2, por lo tanto a = 2x
- 25 equivale a 52, entonces b = 5
- El término 20x es igual a 2⋅2x⋅5 = 20x
La factorización queda así:
4x2 -20x + 25 = (2x – 5)2
Cuando se tienen sumas o diferencias de cubos, se aplican las fórmulas 4 o 5 según el caso.
Factorizar 8x3 – 27
Solución
Tenemos aquí una diferencia de cubos, así que extrayendo la raíz cúbica de cada término:
Entonces a = 2x y b = 3.
Se sigue la fórmula 4, que es la apropiada para la diferencia de cubos:
8x3 – 27 = (2x–3)⋅[(2x)2 + 2x⋅3 + 32] = (2x–3)⋅(4x2 + 6x + 9)
En la siguiente imagen hay un polinomio con cuatro términos que debe ser factorizado. Los tres primeros términos tienen “x” en común, pero el último no. Tampoco podemos decir que los coeficientes numéricos son múltiplos de un mismo factor.
Sin embargo, probaremos a agrupar con paréntesis los términos en dos partes, señaladas con la flecha amarilla: los dos primeros términos tienen en común la “x”, mientras que los dos últimos tienen en común que los coeficientes son múltiplos de 5.
Factorizamos estos dos grupos (flecha azul). Ahora el lector debe observar que al factorizar, sale un nuevo factor común: el paréntesis (3x+2).
Toca factorizar por segunda vez (flecha rosada), ya que (3x+2) es factor común de x y de 5.
Son los valores de la variable que anulan al polinomio. Si se trata de un polinomio cuya variable es “x”, como los que hemos visto, pues se trata de encontrar los valores de x tales que al sustituir, el valor numérico obtenido es 0.
La factorización es un método para hallar los ceros en algunos polinomios. Veamos un ejemplo:
Hallar los ceros del trinomio x2 –2x – 3
Solución
Factorizamos el trinomio, pero este no es un trinomio cuadrado perfecto. No obstante podemos llevar a cabo un procedimiento por tanteo. Escribimos el trinomio como el producto de dos factores, así:
x2 –2x – 3 = (x ) . (x )
En el primer paréntesis se coloca el primer signo del trinomio, visto de izquierda a derecha. Este es un signo (–). En el segundo paréntesis se coloca el producto de los dos signos que aparecen luego del término con x2:
(–) x (–) = +
De esta manera la factorización se verá así:
x2 –2x – 3 = (x – ) . (x + )
Ahora hay que buscar por tanteo dos números a y b que se van a poner en los espacios en blanco. Al ser multiplicados debe resultar 3:
- a x b = 3
Y también deben cumplir que al ser restados resulte 2, ya que los signos de los paréntesis son distintos.
(Si hubiesen sido signos iguales, se debían buscar dos números a y b que al ser sumados dieran el coeficiente del término con “x”). Entonces:
- a – b = 2
Los números que cumplen ambas condiciones, por tanteo son 3 y 1, ya que:
3 x 1 = 3
3 – 1 = 2
El número mayor se coloca en el paréntesis de la izquierda y la factorización queda así:
x2 – 2x – 3 = (x – 3) . (x + 1)
Los ceros del polinomio son los valores de x que anulan a cada factor:
x – 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
El lector puede comprobar que sustituyendo estos valores en el trinomio original, este se anula.
Factorizar el siguiente polinomio: P(x) = x²-1.
Solución
No siempre es necesario usar la resolvente. En este ejemplo se puede utilizar un producto notable.
Reescribiendo el polinomio como sigue se podrá observar cuál producto notable utilizar: P(x) = x² – 1².
Utilizando el producto notable 1, diferencia de cuadrados, se tiene que el polinomio P(x) se puede factorizar como sigue: P(x) = (x+1)(x-1).
Esto además indica que las raíces de P(x) son x1=-1 y x2=1.
Factorizar el siguiente polinomio: Q(x)= x³ – 8.
Solución
Hay un producto notable que dice lo siguiente: a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²).
Sabiendo esto, se puede reescribir el polinomio Q(x) como sigue: Q(x) = x³-8 = x³ – 2³.
Ahora, utilizando el producto notable descrito, se tiene que la factorización del polinomio Q(x) es Q(x) = x³-2³ = (x-2)(x²+2x+2²) = (x-2)(x²+2x+4).
Falta factorizar el polinomio cuadrático que surgió en el paso anterior. Pero si se observa, el producto notable número 2 puede ayudar; por lo tanto, la factorización final de Q(x) viene dada por Q(x) = (x-2)(x+2)².
Esto dice que una raíz de Q(x) es x1=2, y que x2=x3=2 es la otra raíz de Q(x), la cual se repite.
Factorizar R(x) = x² – x – 6.
Solución
Cuando no se puede detectar un producto notable, o no se cuenta con la experiencia necesaria para manipular la expresión, se procede con el uso de la resolvente. Los valores son los siguientes a=1, b=-1 y c=-6.
Al sustituirlos en la fórmula resulta x= (-1 ± √((-1)² – 4*1*(-6) ) )/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1±5)/2.
De aquí resultan dos soluciones que son las siguientes:
x1= (-1+5)/2 = 2
x2= (-1-5)/2 = -3.
Por lo tanto, el polinomio R(x) se puede factorizar como R(x) = (x-2)(x-(-3))=(x-2)(x+3).
Factorizar H(x) = x³ – x² – 2x.
Solución
En este ejercicio se puede comenzar sacando el factor común x y se obtiene que H(x) = x(x²-x-2).
Por lo tanto, solo resta factorizar el polinomio cuadrático. Utilizando nuevamente la resolvente, se tiene que las raíces son:
x = (-1 ± √ ((-1)²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1± √9)/2 = (-1±3)/2.
Por lo tanto las raíces del polinomio cuadrático son x1=1 y x2=-2.
En conclusión, la factorización del polinomio H(x) viene dada por H(x) = x(x-1)(x+2).
- Baldor. 1977. Álgebra Elemental. Ediciones Cultural Venezolana.
- Raíces de un polinomio. Qué son y cómo se calculan paso a paso. Recuperado de: ekuatio.com.
- Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
- Stewart, J. 2006. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. 5ta. Edición. Cengage Learning.
- Zill, D. 1984. Álgebra y Trigonometría. McGraw Hill.