¿Qué es el número de Prandtl? (Valores en gases y líquidos)
El número de Prandtl, abreviado Pr, es una cantidad adimensional que relaciona la difusividad de la cantidad de movimiento, a través de la viscosidad cinemática ν (letra griega que se lee “nu”) de un fluido, con su difusividad térmica α en forma de cociente:
Pr = difusividad de la cantidad de movimiento/difusividad térmica = ν / α
En términos del coeficiente de viscosidad del fluido o viscosidad dinámica μ, el calor específico del mismo Cp y su coeficiente de conductividad térmica K, el número de Prandtl también se expresa matemáticamente del siguiente modo:
Pr = μCp / K
Esta cantidad se denomina así por científico alemán Ludwig Prandtl (1875–1953), quien realizó grandes aportes a la mecánica de los fluidos. El número de Prandtl es uno de los números importantes para modelar el flujo de fluidos y en particular la forma en que el calor se transfiere en ellos mediante convección.
De la definición dada, se desprende que el número de Prandtl es una característica del fluido, pues depende de las propiedades de este. A través de este valor, se puede comparar la capacidad del fluido para transferir cantidad de movimiento y calor.
Índice del artículo
- 1 Convección natural y forzada en fluidos
- 2 Definiciones importantes en la transmisión de calor en un fluido
- 3 Valores del número de Prandtl en gases y líquidos
- 4 Referencias
El calor se transmite a través de un medio mediante diversos mecanismos: convección, conducción y radiación. Cuando existe movimiento a nivel macroscópico del fluido, esto es, hay movimiento masivo de este, el calor se transmite rápidamente en este mediante el mecanismo de convección.
En cambio, cuando el mecanismo preponderante es la conducción, el movimiento del fluido ocurre a nivel microscópico, ya sea atómico o molecular, según el tipo de fluido, pero siempre más lentamente que por convección.
La velocidad del fluido y el régimen de flujo que tenga -laminar o turbulento- también influye en esto, pues mientras más rápido se mueva, más rápida es también la transmisión de calor.
La convección ocurre naturalmente cuando el fluido se mueve a causa de una diferencia de temperatura, por ejemplo cuando una masa de aire caliente se eleva y otra de aire frío desciende. En este caso se habla de convección natural.
Pero la convección también puede ser forzada si se utiliza un ventilador para obligar al aire a fluir, o una bomba para poner el agua en movimiento.
En cuanto al fluido, este puede circular a través de un tubo cerrado (fluido confinado), un tubo abierto (como una canal por ejemplo) o bien una superficie abierta.
En todas estas situaciones, el número de Prandtl se puede emplear para modelar la transmisión de calor, junto a otros números importantes de la mecánica de los fluidos, como el número de Reynolds, el número de Mach, el número de Grashoff, el número de Nusselt, la rugosidad o aspereza de la tubería y más.
Además de las propiedades del fluido, la geometría de la superficie también interviene en el transporte de calor, así como el tipo de flujo: laminar o turbulento. Puesto que el número de Prandtl involucra numerosas definiciones, aquí hay un breve resumen de las más importantes:
Viscosidad dinámica μ
Es la resistencia natural de un fluido a fluir, debida a las distintas interacciones entre sus moléculas. Se denota μ y sus unidades en el Sistema Internacional (SI) son N.s/m2 (newton x segundo / metro cuadrado) o Pa.s (pascal x segundo), llamada poise. Es mucho mayor en los líquidos que en los gases y depende de la temperatura del fluido.
Viscosidad cinemática ν
Se denota como ν (letra griega que se lee “nu”) y se define como la razón entre la viscosidad dinámica μ y la densidad ρ de un fluido:
ν = μ / ρ
Sus unidades son m2 /s.
Conductividad térmica K
Se define como la capacidad de los materiales para conducir el calor al través de ellos. Es una cantidad positiva y sus unidades son W.m/K (vatio x metro/kelvin).
Calor específico Cp
Cantidad de calor que debe añadirse a 1 kilogramo de sustancia para elevar su temperatura en 1 ºC.
Difusividad térmica α
Se define como:
α =K /ρCp
Las unidades de la difusividad térmica son las mismas que las de la viscosidad cinemática: m2 /s.
Descripción matemática de la transmisión de calor
Existe una ecuación matemática que modela la transmisión de calor a través del fluido, considerando que sus propiedades como viscosidad, densidad y otras permanecen constantes:
dT/dt = α ∆T
T es la temperatura, una función del tiempo t y del vector de posición r, mientras que α es la difusividad térmica antes mencionada y Δ es el operador laplaciano. En coordenadas cartesianas quedaría así:
Rugosidad
Asperezas e irregularidades en la superficie por la que circula el fluido, por ejemplo en la cara interna de la tubería por donde circula el agua.
Flujo laminar
Se refiere a un fluido que fluye en capas, de manera suave y ordenada. Las capas no se entremezclan y el fluido se mueve a lo largo de las llamadas líneas de corriente.
Flujo turbulento
En este caso el fluido se mueve de una manera desordenada y sus partículas forman remolinos.
En los gases, el orden de magnitud tanto de la viscosidad cinemática como de la difusividad térmica, viene dado por el producto de la velocidad media de las partículas y el recorrido libre medio. Este último es el valor de la distancia promedio recorrida por una molécula de gas entre dos colisiones.
Ambos valores son muy semejantes, por lo tanto el número de Prandtl Pr es cercano a 1. Por ejemplo para el aire Pr = 0.7. Esto significa que tanto el momentum como el calor se transmiten aproximadamente con la misma rapidez en los gases.
En los metales líquidos en cambio, Pr es menor que 1, ya que los electrones libres conducen el calor mucho mejor que el momentum. En tal caso ν es menor que α y Pr 1. Un buen ejemplo es el sodio líquido, utilizado como refrigerante en los reactores nucleares.
El agua es un conductor de calor menos eficiente, con Pr = 7, así como aceites viscosos, cuyo número de Prandtl es muchísimo mayor, pudiendo llegar a ser de 100.000 para aceites pesados, lo cual quiere decir que el calor se transmite en ellos con mucha lentitud, comparado con el momentum.
Tabla 1. Orden de magnitud del número de Prandtl para distintos fluidos
| Fluido | ν (m2 /s) | α (m2 /s) | Pr |
|---|---|---|---|
| Manto terrestre | 1017 | 10-6 | 1023 |
| Capas internas del Sol | 10-2 | 102 | 10-4 |
| Atmósfera de la Tierra | 10-5 | 10-5 | 1 |
| Océano | 10-6 | 10-7 | 10 |
Las difusividades térmicas del agua y del aire a 20 ºC son respectivamente 0.00142 y 0.208 cm2/s. Encuentre los números de Prandtl del agua y del aire.
Solución
Se aplica la definición dada al principio, puesto que el enunciado facilita los valores de α:
Pr = ν / α
Y en cuanto a los valores de ν, pueden encontrarse en una tabla de propiedades de los fluidos, eso sí, hay que tener cuidado de que ν esté en las mismas unidades de α y que sean válidas a 20 ºC:
νaire = 1.51x 10-5 m2/s = 0.151 cm2/s; νagua =1.02 x 10-6 m2/s = 0.0102 cm2/s
Por lo tanto:
Pr (aire) = 0.151 / 0.208 = 0.726 ; Pr (agua) = 0.0102 / 0.00142 = 7.18
- Química orgánica. Tema 3: Convección. Recuperado de: pi-dir.com.
- López, J. M. 2005. Problemas resueltos de Mecánica de Fluidos. Serie Schaum. McGraw Hill.
- Shaugnessy, E. 2005. Introduction to Fluid Mechanics. Oxford University Press.
- Thorne, K. 2017. Modern Classical Physics. Princeton and Oxford University Press.
- UNET. Fenómenos de transporte. Recuperado de: unet.edu.ve.
- Wikipedia. Prandtl number. Recuperado de: en.wikipedia.org.
- Wikipedia. Thermal conductivity. Recuperado de: en.wikipedia.org.
- Wikipedia. Viscosidad. Recuperado de: es.wikipedia.org.