Leyes de los exponentes: qué son, cuáles son, ejemplos, ejercicios
¿Qué son las leyes de los exponentes?
Las leyes de los exponentes son las que se aplican a aquel número que indica cuántas veces debe ser multiplicado por sí mismo un número base. Los exponentes también son conocidos como potencias. La potenciación es una operación matemática formada por una base (a), el exponente (m) y la potencia (b), que es el resultado de la operación.
Los exponentes son usados generalmente cuando son utilizadas cantidades muy grandes, debido a que estos no son más que abreviaciones que representan la multiplicación de ese mismo número una cantidad determinada de veces. Los exponentes pueden ser tanto positivos como negativos.
¿Qué son los exponentes en las operaciones matemáticas?
Como se dijo anteriormente, los exponentes son una forma abreviada que representa la multiplicación de números por sí mismos varias veces, donde el exponente solo se relaciona con el número de la izquierda. Por ejemplo:
23 = 2*2*2 = 8
En ese caso el número 2 es la base de la potencia, que será multiplicado 3 veces como lo indica el exponente, ubicado en la esquina superior derecha de la base. Existen diferentes formas de leer la expresión: 2 elevado a la 3 o también 2 elevado al cubo.
Los exponentes también indican el número de veces que pueden ser divididos, y para diferenciar esta operación de la multiplicación el exponente lleva el signo menos (-) delante de sí (es negativo), lo que significa que el exponente está en el denominador de una fracción. Por ejemplo:
2– 4 = 1/ 2*2*2*2 = 1/16
Esto no debe confundirse con el caso en el que la base es negativa, ya que dependerá de si el exponente es par o impar para determinar si la potencia será positiva o negativa. Así se tiene que:
– Si el exponente es par, la potencia será positiva. Por ejemplo:
(-7)2 = -7 * -7 = 49.
– Si el exponente es impar, la potencia será negativa. Por ejemplo:
(–2)5 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32.
Existe un caso especial en el cual si el exponente es igual a 0 se tiene que la potencia es igual a 1. También existe la posibilidad de que la base sea 0; en ese caso, dependiendo del exponente, la potencia será indeterminada o no.
Para realizar operaciones matemáticas con los exponentes es necesario seguir varias reglas o normas que hacen más simple hallar la solución de esas operaciones.
¿Cuáles son las leyes de los exponentes?
Primera ley: potencia de exponente igual a 1
Cuando el exponente es 1, el resultado será el mismo valor de la base: a1 = a.
Ejemplos
91 = 9.
221 = 22.
8951 = 895.
Segunda ley: potencia de exponente igual a 0
Cuando el exponente es 0, si la base es distinta de cero, el resultado será: a0 = 1.
Ejemplos
10 = 1.
3230=1.
10950 = 1.
Tercera ley: exponente negativo
Como el exponte es negativo, el resultado será una fracción, donde la potencia será el denominador. Por ejemplo, si m es positivo, entonces a-m =1/am.
Ejemplos
– 3-1 = 1/ 3.
– 6-2 = 1 / 62 = 1/36.
– 8-3 = 1/ 83 = 1/512.
Cuarta ley: multiplicación de potencias con base igual
Para multiplicar potencias donde las bases son iguales y diferentes de 0, la base se mantiene y los exponentes son sumados: am * an = am+n.
Ejemplos
– 44* 43 = 44+3 = 47
– 81 * 84 = 81+4 = 85
– 22 * 29 = 22+9 = 211
Quinta ley: división de potencias con base igual
Para dividir potencias en las cuales las bases son iguales y diferentes de 0, se mantiene la base y los exponentes se restan como sigue: am / an = am-n.
Ejemplos
– 92 / 91 = 9 (2 – 1) = 91.
– 615 / 610 = 6 (15 – 10) = 65.
– 4912 / 496 = 49 (12 – 6) = 496.
Sexta ley: multiplicación de potencias con base diferente
En esta ley se tiene lo contrario a lo expresado en la cuarta; es decir, si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes, se multiplican las bases y se mantiene el exponente: am * bm = (a*b) m.
Ejemplos
– 102 * 202 = (10 * 20)2 = 2002.
– 4511* 911 = (45*9)11 = 40511.
Otra forma de representar esta ley es cuando una multiplicación se encuentra elevada a una potencia. Así, el exponente va a pertenecer a cada uno de los términos: (a*b)m=am* bm.
Ejemplos
– (5*8)4 = 54* 84 = 404.
– (23 * 7)6 = 236* 76 = 1616.
Séptima ley: división de potencias con base diferente
Si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes se dividen las bases y se mantiene el exponente: am / bm = (a / b)m.
Ejemplos
– 303 / 23 = (30/2)3 = 153.
– 4404 / 804 = (440/80)4 = 5,54.
De igual forma, cuando una división se encuentra elevada a una potencia, el exponente va a pertenecer en cada uno de los términos: (a / b) m = am /bm.
Ejemplos
– (8/4)8 = 88 / 48 = 28.
– (25/5)2 = 252 / 52 = 52.
Existe el caso en que el exponente es negativo. Entonces, para que sea positivo el valor del numerador se invierte con el del denominador, de la siguiente manera:
– (a / b)-n = (b / a )n = bn / an.
– (4/5) -9 = ( 5 / 4) 9 = 59 / 44.
Octava ley: potencia de una potencia
Cuando se tiene una potencia que esta elevada a otra potencia —es decir, dos exponentes a la vez—, la base se mantiene y los exponentes se multiplican: (am)n=am*n.
Ejemplos
– (83)2 = 8 (3*2) = 86.
– (139)3 = 13 (9*3) = 1327.
– (23810)12 = 238(10 * 12) = 238120.
Novena ley: exponente fraccionario
Si la potencia tiene como exponente una fracción, esta es resuelta al transformarla en una raíz n–ésima, donde el numerador se mantiene como exponente y el denominador representa el índice de la raíz:
Ejemplo
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Calcular las operaciones entre las potencias que tienen diferentes bases:
24* 44 / 82.
Solución
Aplicando las reglas de los exponentes, en el numerador se multiplican las bases y se mantiene el exponente, así:
24* 44 / 82=(2*4)4 / 82 = 84 / 82
Ahora, como se tienen bases iguales, pero con exponentes diferentes, se mantiene la base y se restan los exponentes:
84 / 82 = 8(4 – 2) = 82
Ejercicio 2
Calcular las operaciones entre las potencias elevadas a otra potencia:
(32)3* (2 * 65)-2* (22)3
Solución
Aplicando las leyes, se tiene que:
(32)3* (2 * 65)-2* (22)3
=36* 2-2* 2-10 * 26
=36* 2(-2) + (- 10) * 26
=36 * 2-12* 26
=36 * 2(-12) + (6)
=36 * 26
=(3*2)6
=66
=46.656
Referencias
- Aponte, G. (1998). Fundamentos De Matematicas Basica. Pearson Educación.
- Corbalán, F. (1997). La matemática aplicada a la vida cotidiana.
- Jiménez, J. R. (2009). Matematicas 1 SEP.
- Max Peters, W. L. (1972). Algebra y Trigonometría.
- Rees, P. K. (1986). Reverte.