Lenguaje algebraico: concepto, para qué sirve, ejemplos, ejercicios
El lenguaje algebraico es el que utiliza letras, símbolos y números para expresar en forma breve y concisa enunciados en los que se pide realizar operaciones matemáticas. Por ejemplo 2x – x2 es lenguaje algebraico.
Emplear el lenguaje algebraico adecuado es muy importante para modelar muchas situaciones que se presentan en la naturaleza y en lo cotidiano, algunas de los cuales pueden ser muy complejos según la cantidad de variables que se manejen.
Vamos a mostrar algunos ejemplos sencillos, por ejemplo el siguiente: Expresar en lenguaje algebraico la frase “El doble de un número”.
Lo primero que hay que tomar en cuenta es que no sabemos cuánto vale ese número. Como hay muchos para elegir, entonces vamos a llamarlo “x”, que los representa a todos y después, lo multiplicamos por 2:
El doble de un número es igual a:2x
Probemos esta otra proposición:
El triple de un número más la unidad
Como ya sabemos que a cualquier número desconocido lo podemos llamar “x”, lo multiplicamos por 3 y agregamos la unidad, que no es otra cosa que el número 1, así:
El triple de un número más la unidad es igual a: 3x + 1
Una vez que se tiene la proposición traducida al lenguaje algebraico, podemos darle después el valor numérico que queramos, para llevar a cabo operaciones como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y muchas más.
Índice del artículo
- 1 ¿Para qué sirve el lenguaje algebraico?
- 2 Un poco de historia
- 3 Ejemplos de lenguaje algebraico
- 4 Ejercicio resuelto
- 5 Referencias
La ventaja inmediata del lenguaje algebraico es lo breve y conciso que es. Una vez que se maneja, el lector aprecia de un vistazo propiedades que, de otra forma, tomaría muchos párrafos describir y algún tiempo de leer.
Además, por ser breve, facilita las operaciones entre expresiones y proposiciones, sobre todo cuando nos ayudamos de los símbolos como =, x, +, -, por citar algunos de los muchos que tiene la matemática.
En resumen, una expresión algebraica sería, para una proposición, el equivalente de mirar la foto de un paisaje, en vez de leer una larga descripción con palabras. Por lo tanto, el lenguaje algebraico facilita el análisis y las operaciones y hace mucho más breves los textos.
Y eso no es todo, el lenguaje algebraico permite escribir expresiones generales, y después usarlas para encontrar cosas muy concretas.
Supongamos por ejemplo que nos piden encontrar el valor de: “el triple de un número más la unidad cuando dicho número vale 10”.
Teniendo la expresión algebraica es sencillo sustituir “x” por 10 y efectuar la operación descrita:
(3×10) + 1 = 31
Si después queremos hallar el resultado con otro valor de “x”, se puede hacer igual de rápido.
A pesar de que estamos familiarizados con letras y símbolos matemáticos como el “=”, la letra “x” para las incógnitas, la cruz “x” para el producto y muchos otros, estos no siempre se utilizaron para escribir ecuaciones y enunciados.
Por ejemplo, los antiguos textos árabes y egipcios de matemáticas apenas contenían símbolos, y sin ellos, ya nos podemos imaginar lo extensos que debían ser.
Sin embargo, fueron los mismos matemáticos musulmanes quienes comenzaron a desarrollar el lenguaje algebraico desde la Edad Media. Pero fue el matemático y criptógrafo francés François Viete (1540-1603) el primero, que se sepa, en escribir una ecuación usando letras y símbolos.
Algún tiempo después, el matemático inglés William Oughtred escribió un libro que publicó en 1631, donde hacía uso de símbolos como la cruz para el producto y el símbolo de proporcionalidad ∝, que aún se emplean en la actualidad.
Con el correr del tiempo y el aporte de muchos científicos, se fue desarrollando toda la simbología que se maneja hoy en día en las escuelas, universidades y distintos ámbitos profesionales.
Y es que las matemáticas están presentes en las ciencias exactas, la economía, la administración, las ciencias sociales y muchas otras áreas más.
A continuación tenemos ejemplos de uso del lenguaje algebraico, no solo para expresar proposiciones en términos de símbolos, letras y números.
A veces debemos ir en sentido contrario, y teniendo una expresión algebraica, escribirla con palabras.
Nota: si bien el uso de la “x” como símbolo de la incógnita está muy extendido (el frecuente “…encuentre el valor de x…” de los exámenes), la verdad es que podemos usar cualquier letra que queramos para expresar el valor de alguna magnitud.
Lo importante es ser consistente durante el procedimiento.
Escribir los siguientes enunciados utilizando el lenguaje algebraico:
a) El cociente entre el doble de un número y el triple del mismo más la unidad
Respuesta a
Sea n el número desconocido. La expresión buscada es:
b) Cinco veces un número más 12 unidades:
Respuesta b
Si m es el número, se multiplica por 5 y se agrega 12:
5m + 12
c) El producto de tres números naturales consecutivos:
Respuesta c
Sea x uno de los números, el número natural que le sigue es (x+1) y el que le sigue a este es (x+1+1) = x+2. Por lo tanto el producto de los tres es:
x(x+1)(x+2)
d) La suma de cinco números naturales consecutivos:
Respuesta d
Cinco números naturales consecutivos son:
x, x+1, x+2, x+3, x+4
Cuando se suman se obtiene: 5x + 10
e) El cociente entre el doble de un número y el triple del mismo, todo ello sumado con la unidad.
Respuesta e
Describir con palabras la siguiente expresión algebraica:
2x – x2
Respuesta
La diferencia (o resta) entre el doble de un número y el cuadrado del mismo.
A veces, para expresar una resta se emplea la frase “… disminuido en”. De esta forma la expresión anterior quedaría:
El doble de un número disminuido en su cuadrado.
La diferencia de dos números es igual 2. Además se sabe que 3 veces el mayor, sumado con el doble del menor, es igual a cuatro veces la mencionada diferencia. ¿Cuánto vale la suma de los números?
Vamos a analizar cuidadosamente la situación presentada. La primera frase nos dice que hay dos números, los cuales llamaremos x e y.
Uno de ellos es mayor, pero no se sabe cuál, así que supondremos que es x. Y su diferencia es igual a 2, por lo tanto escribimos:
x – y = 2
Después se nos explica que “3 veces el mayor…”, esto es igual a 3x. Después va: sumado con “el doble del menor…”, lo cual equivale a 2y… Hagamos una pausa y escribamos hasta aquí:
3x + 2y ….
Ahora proseguimos: “…es igual a cuatro veces la mencionada diferencia”. La mencionada diferencia es 2 y ya podemos completar la proposición:
3x + 2y = 4.2 = 8
Con estas dos proposiciones tenemos que hallar la suma de los números. Pero para sumarlos primero tenemos que saber cuales son.
Volvemos a nuestras dos proposiciones:
x – y = 2
3x – 2y = 8
Podemos despejar x de la primera ecuación: x = 2+y. Luego sustituir en la segunda:
3(2+y) – 2y = 8
y + 6 = 8
y = 2
Con este resultado y sustituyendo, x = 4 y lo que pide el problema es la suma de ambos: 6.
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