Las leyes de los exponentes y radicales establecen una forma simplificada o resumida de trabajar una serie de operaciones numéricas con potencias, las cuales siguen un conjunto de reglas matemáticas.
Por su parte, se denomina potencia a la expresión an, (a) representa el número base y (n o enésima) es el exponente que indica cuántas veces se debe multiplicar o elevar la base según lo expresado en el exponente.
Leyes de los exponentes
La finalidad de las leyes de los exponentes es resumir una expresión numérica que, si se expresa de manera completa y detallada sería muy extensa. Por esta razón es que en muchas expresiones matemáticas se encuentran expuestas como potencias.
Ejemplos:
52 es lo mismo que (5) ∙ (5) = 25. Es decir, se debe multiplicar 5 dos veces.
23 es lo mismo que (2) ∙ (2) ∙ (2) = 8. Es decir, se debe multiplicar 2 tres veces.
De esta manera, la expresión numérica es más simple y menos confusa para resolver.
1. Potencia con exponente 0
Cualquier número elevado a un exponente 0 es igual a 1. Cabe destacar que la base siempre debe ser diferente a 0, es decir a ≠ 0.
Ejemplos:
a0 = 1
-50 = 1
2. Potencia con exponente 1
Cualquier número elevado a un exponente 1 es igual a sí mismo.
Ejemplos:
a1 = a
71 = 7
3. Producto de potencias de igual base o multiplicación de potencias de igual base
¿Qué pasa si tenemos dos bases (a) iguales con diferentes exponentes (n)? Es decir, an ∙ am. En este caso, las bases iguales se mantienen y se suman sus potencias, es decir: an ∙ am = an+m.
Ejemplos:
22 ∙ 24 es lo mismo que (2) ∙ (2) x (2) ∙ (2) ∙ (2) ∙ (2). Es decir, se suman los exponentes 22+4 y el resultado sería 26 = 64.
35 ∙ 3-2 = 35+(-2) = 35-2 = 33 = 27
Esto sucede porque el exponente es el indicador de cuántas veces se debe multiplicar el número base por sí mismo. Por tanto, el exponente final será la suma o resta de los exponentes que tienen una misma base.
4. División de potencias de igual base o cociente de dos potencias con igual base
El cociente de dos potencias de igual base es igual a elevar la base según la diferencia del exponente del numerador menos el denominador. La base debe ser diferente a 0.
Ejemplos:
5. Potencia de un producto o Ley distributiva de la potenciación con respecto de la multiplicación
Esta ley establece que la potencia de un producto debe ser elevada al mismo exponente (n) en cada uno de los factores.
Ejemplos:
(a ∙ b ∙ c)n = an ∙ bn ∙ cn
(3 ∙ 5)3 = 33 ∙ 53 = (3 ∙ 3 ∙ 3) (5 ∙ 5 ∙ 5) = 27 ∙ 125 = 3375.
(2ab)4 = 24 ∙ a4 ∙ b4 = 16 a4b4
6. Potencia de otra potencia
Se refiere a la multiplicación de potencias que tienen las mismas bases, de la cual se obtiene una potencia de otra potencia.
Ejemplos:
(am)n = am∙n
(32)3 = 32∙3 = 36 = 729
7. Ley del exponente negativo
Si se tiene una base con un exponente negativo (a-n) se debe tomar la unidad divida entre la base que será elevada con el signo del exponente en positivo, es decir 1/an . En este caso, la base (a) debe ser diferente a 0, a ≠ 0.
Ejemplo: 2-3 expresado en fracción queda como:
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Leyes de los radicales
La ley de los radicales se trata de una operación matemática que nos permite hallar la base a través de la potencia y el exponente.
Los radicales son las raíces cuadras que se expresan de la siguiente manera √, y consiste en conseguir un número que multiplicado por sí mismo dé como resultado lo que está en la expresión numérica.
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 se expresa de la siguiente manera: √16 = 4; esto significa que 4.4 = 16. En este caso no es necesario indicar el exponente dos en la raíz. Sin embargo, en el resto de las raíces sí.
Por ejemplo:
La raíz cúbica de 8 se expresa de la siguiente manera: 3√8 = 2, es decir, 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
Otros ejemplos:
n√1 = 1, ya que todo número multiplicado por 1 es igual a sí mismo.
n√0 = 0, ya que todo número multiplicado por 0 es igual a 0.
1. Ley de cancelación del radical
Una raíz (n) elevada a la potencia (n) se cancela.
Ejemplos:
(n√a )n = a.
(√4 )2 = 4
(3√5 )3 = 5
2. Raíz de una multiplicación o producto
Una raíz de una multiplicación se puede separar como una multiplicación de raíces, sin importar el tipo de raíz.
Ejemplos:
3. Raíz de una división o cociente
La raíz de una fracción es igual a la división de la raíz del numerador y de la raíz del denominador.
Ejemplos:
4. Raíz de una raíz
Cuando dentro de una raíz hay una raíz se pueden multiplicar los índices de ambas raíces a fin de reducir la operación numérica a una sola raíz, y se mantiene el radicando.
Ejemplos:
5. Raíz de una potencia
Cuando se tiene dentro de una raíz un número elevado un exponente, se expresa como el número elevado a la división del exponente entre el índice del radical.
Ejemplos:
Vea también Álgebra.