La paradoja del cumpleaños: qué es, y cómo se explica

Imaginemos que estamos con un grupo de personas, por ejemplo, en una reunión familiar, un reencuentro de la clase de primaria o, simplemente, tomando algo en un bar. Pongamos que son unas 25 personas.

Entre el barullo y las conversaciones superficiales, hemos desconectado un poco y nos hemos puesto a pensar en nuestras cosas y, de repente, nos preguntamos: ¿cuál debe ser la probabilidad de que entre esa gente dos personas cumplan años el mismo día?

La paradoja del cumpleaños es una verdad matemática, contraria a nuestro instinto, que sostiene que son muy pocas las personas necesarias para que haya una probabilidad cercana al azar de que dos de ellas cumplan años el mismo día. Vamos a intentar entender más a fondo esta curiosa paradoja.

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La paradoja del cumpleaños

La paradoja del cumpleaños es una verdad matemática que establece que en un grupo de apenas 23 personas hay una probabilidad cercana al azar, concretamente del del 50,7%, de que al menos dos de esas personas cumplan años el mismo día. La popularidad de este enunciado matemático es debido a lo sorprendente que resulta ser el hecho de que sean necesarias tan pocas personas para tener posibilidades bastante seguras de que tengan coincidencias en algo tan variado como es la fecha de cumpleaños.

Aunque a este hecho matemático se le denomina paradoja, en un sentido estricto no lo es. Es más bien una paradoja en tanto que resulta ser curiosa, dado que es bastante contraria al sentido común. Cuando se pregunta a alguien cuántas personas cree que hacen falta para que entre ellas dos cumplan años el mismo día, la gente tiende a dar, como respuesta intuitiva 183, esto es, la mitad de 365.

El pensamiento detrás de este valor es el de que partiendo por la mitad la cantidad de días que tiene un año ordinario se obtiene el mínimo necesario para que haya una probabilidad cercana al 50%.

Sin embargo, no es de extrañar que se den valores tan altos a la hora de intentar responder a esta pregunta, dado que la gente suele entender mal el problema. La paradoja del cumpleaños no se refiere a las probabilidades que hay de que una persona en concreto cumpla años con respecto a otra del grupo, sino, como hemos comentado, las posibilidades de que dos personas cualquiera del grupo cumplan años el mismo día.

Explicación matemática del fenómeno

Para entender esta sorprendente verdad matemática, lo que primero se debe hacer es tener en cuenta que hay muchas posibilidades de encontrar parejas que cumplan años el mismo día.

A primera vista, uno pensaría que 23 días, esto es, los 23 cumpleaños de los miembros del grupo, es una fracción demasiado pequeña del posible número de días distintos, 365 días de un año no bisiesto, o 366 en los bisiestos, como para esperar que haya repeticiones. Este pensamiento realmente es acertado, pero solo si esperáramos la repetición de un día concreto. Es decir, y como ya hemos comentado, sí que necesitaríamos reunir a mucha gente para que hubiera una posibilidad más o menos cercana al 50% de que alguno de los miembros del grupo cumpliera años con nosotros mismos, por poner un ejemplo.

Sin embargo, en la paradoja del cumpleaños se plantea repeticiones cualquiera. Es decir, cuánta gente se necesita para que dos de esas personas cumplan años el mismo día, siendo la persona o días cualquieras. Para entenderlo y mostrarlo de forma matemática, a continuación veremos más a fondo el procedimiento que hay detrás de la paradoja.

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Posibilidades de posible coincidencia

Imaginemos que tenemos en una habitación solo a dos personas. Estas dos personas, C1 y C2, solo se podría formar una pareja (C1=C2), con lo cual solo tenemos una pareja en la que se pueda dar repetición de cumpleaños. O cumplen los años el mismo día, o no lo cumplen el mismo, no hay más alternativas.

Para exponer este hecho de forma matemática, tenemos la siguiente fórmula:

(Nº personas x combinaciones posibles)/2 = posibilidades de posible coincidencia.

En este caso, esto sería:

(2 x 1)/2 = 1 posibilidad de posible coincidencia

¿Qué pasa si en vez de dos personas hay tres? Las posibilidades de coincidencia suben a tres, gracias a que se pueden formar tres parejas entre estas tres personas (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Representado matemáticamente tenemos:

(3 personas X 2 combinaciones posibles)/2 = 3 posibilidades de posible coincidencia

Con cuatro hay seis posibilidades de que entre ellos coincidan:

(4 personas X 3 combinaciones posibles)/2 = 6 posibilidades de posible coincidencia

Si subimos a diez personas, tenemos muchas más posibilidades:

(10 personas X 9 combinaciones posibles)/2 = 45

Con 23 personas hay (23×22)/2 = 253 parejas distintas, cada una de ellas una candidata a que sus dos miembros cumplan años el mismo día, dándose la paradoja del cumpleaños y habiendo más posibilidades de que haya la coincidencia de cumpleaños.

Estimación de la probabilidad

Vamos a calcular cuál es la probabilidad de que un grupo con tamaño n de personas dos de ellas, sean las que sean, cumplan años el mismo día. Para este caso en concreto, vamos a desechar los años bisiestos y los gemelos, asumiendo que existen 365 cumpleaños que tienen la misma probabilidad.

Utilizando la regla de Laplace y la combinatoria

Primero, tenemos que calcular la probabilidad de que n personas tengan cumpleaños diferentes. Es decir, calculamos la probabilidad opuesta a lo que se plantea en la paradoja del cumpleaños. Para esto, debemos tener en cuenta dos posibles sucesos a la hora de plantear los cálculos.

Suceso A = {dos personas celebran su cumpleaños el mismo día} Complementario al suceso A: A^c = {dos personas no celebran su cumpleaños el mismo día}

Pongamos como caso particular un grupo con cinco personas (n=5)

Para calcular el número de casos posibles, nos valemos de la siguiente fórmula:

Días del año^n

Teniendo en cuenta que un año normal tiene 365 días, el número de casos posibles de celebración de cumpleaños es:

365^5 = 6,478 × 10^12

La primera de las personas que seleccionemos puede haber nacido, como es lógico pensar, en cualquiera de los 365 días del año. La siguiente puede haber nacido en uno de los 364 días restantes, y la siguiente de la siguiente puede haber nacido en uno de los 363 días restantes y, así, sucesivamente.

De esto se desprende el siguiente cálculo: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10^12, que da como resultado el número de casos de que no existan dos personas en ese grupo de 5 que hayan nacido el mismo día.

Aplicando la regla de Laplace, calcularíamos:

P (A^c) = casos favorables/casos posibles = 6,303 / 6,478 = 0,973

Esto quiere decir que las posibilidades de que dos personas del grupo de 5 no cumplan los años el mismo día son del 97,3%. Con este dato, podemos obtener cuál es la posibilidad de que dos personas cumplan años el mismo día, obteniendo el valor complementario.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Así pues, de esto se extrae que las posibilidades de que en un grupo de cinco personas, dos de ellas cumplan años el mismo día es de tan solo un 2,7%.

Entendido esto, podemos cambiar el tamaño de la muestra. La probabilidad de que al menos dos personas de una reunión de n personas cumplan años el mismo día se puede obtener por medio de la siguiente fórmula:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

En caso de que n sea 23, la probabilidad de que al menos dos de esas personas celebren años el mismo día es de 0,51.

El motivo por el que se ha hecho tan famoso este tamaño muestral en concreto es debido a que con n = 23 hay una probabilidad a la par de que por lo menos dos personas celebren el cumpleaños el mismo día.

Si aumentamos a otros valores, por ejemplo 30 o 50, tenemos probabilidades más altas, de 0,71 y 0,97 respectivamente, o lo que es lo mismo, 71% y 97%. Con n = 70 tenemos casi asegurado de que dos de ellas van a coincidir en el día de su cumpleaños, con probabilidad de 0.99916 o 99,9%

Utilizando la regla de Laplace y la regla del producto

Otra forma no tan rebuscada de entender el problema es plantearlo de la siguiente manera.

Imaginemos que 23 personas se juntan en una habitación y queremos calcular las opciones de que no compartan cumpleaños.

Supongamos que solo hay una persona en la habitación. Las posibilidades de que todos los que están en la habitación cumplan años en días diferentes son, obviamente de 100%, es decir, de probabilidad 1. Básicamente, esa persona está sola, y como no hay nadie más su cumpleaños no coincide con el de nadie más.

Ahora entra otra persona y, por lo tanto, hay dos personas en la habitación. Las probabilidades de que tenga un cumpleaños diferente al de la primera persona son de 364/365, esto es 0,9973 o 99,73%.

Entra una tercera. La probabilidad de que tenga un cumpleaños diferente a la de las otras dos personas, que han entrado antes que ella, es de 363/365. Las probabilidades de que las tres tengan cumpleaños diferentes es 364/365 veces 363/365, o 0,9918.

Así pues, las opciones de que 23 personas tengan cumpleaños diferentes son de 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x ... x 343/365, dando como resultado 0,493.

O sea, hay 49,3% de probabilidades de que ninguno de los presentes cumpla años el mismo día y, por tanto, a la inversa, calculando el complementario de ese porcentaje tenemos que hay 50,7% de posibilidades de que al menos dos de ellas compartan cumpleñaos.

En contraste con la paradoja del cumpleaños, la probabilidad de que cualquiera de una habitación de n persona cumpla años el mismo día que una persona en concreto, por ejemplo, nosotros mismos en caso de que ahí estemos, viene dada por la siguiente fórmula.

1- (364/365)^n

Con n = 23 daría alrededor de 0,061 de probabilidad (6%), necesitándose al menos de n = 253 para dar un valor cercano a 0,5 o 50%.

La paradoja en la realidad

Son múltiples las situaciones en las que podemos ver que esta paradoja se cumple. Aquí vamos a poner dos casos reales.

El primero es el de los reyes de España. Contando desde el reinado de los Reyes Católicos de Castilla y Aragón hasta el de Felipe VI de España, tenemos 20 monarcas legítimos. Entre estos reyes encontramos, sorprendentemente, dos parejas que coinciden en cumpleaños: Carlos II con Carlos IV (11 de noviembre) y José I con Juan Carlos I (5 de enero). La posibilidad de que solo hubiera una pareja de monarcas con mismo cumpleaños, teniendo en cuenta que n = 20, es de

Otro caso real es el de la gran final de Eurovisión del 2019. En la final de ese año, celebrada en Tel Aviv, Israel, llegaron a participar 26 países, 24 de los cuales mandaron o cantantes en solitario o grupos en donde la figura del cantante cobraba especial protagonismo. Entre ellos, dos cantantes coincidieron en día de cumpleaños: el representante de Israel, Kobi Marimi y el de Suiza, Luca Hänni, ambos cumpliendo años el 8 de octubre.

Referencias bibliográficas:

• Abramson, M.; Moser, W. O. J. (1970). "More Birthday Surprises". American Mathematical Monthly. 77 (8): 856–858. doi:10.2307/2317022
• Bloom, D. (1973). "A Birthday Problem". American Mathematical Monthly. 80 (10): 1141–1142. doi:10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Extensions of the Birthday Surprise". Journal of Combinatorial Theory. 3 (3): 279–282. doi:10.1016/s0021-9800(67)80075-9