Clasificación de los Números Reales

¿Qué son los números reales? Se trata del conjunto de números que incluyen los naturales, los enteros, los racionales y los irracionales. A lo largo de este artículo veremos en qué consiste cada uno de ellos. Por otro lado, los números reales se representan mediante la letra “R” (ℜ).

En este artículo conoceremos la clasificación de los números reales, formada por los diferentes tipos de números mencionados al inicio. Veremos cuáles son sus características fundamentales, así como ejemplos. Finalmente, hablaremos de la importancia de las matemáticas y de sus sentido y beneficios.

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¿Qué son los números reales?

Los números reales se pueden representar en una recta numérica, comprendiendo esta los números racionales e irracionales.

Es decir, la clasificación de los números reales incluye los números positivos y negativos, el 0 y los números que no se pueden expresar mediante fracciones de dos enteros y que tienen como denominador a números no nulos (es decir, que no son 0). Más adelante concretaremos qué tipo de número corresponde a cada una de estas definiciones.

Algo que también se dice de los números reales es que se trata de un subconjunto de los números complejos o imaginarios (estos se representan mediante la letra “i”).

Clasificación de los números reales

En definitiva, y para decirlo de una forma más entendible, los números reales son prácticamente la mayoría de números con los que tratamos en nuestro día a día y más allá de él (cuando estudiamos matemáticas, sobre todo de un nivel más avanzado).

Ejemplos de números reales son: 5, 7, 19, -9, -65, -90. √6, √9, √10, el número pi (π), etc. Sin embargo, esta clasificación, como ya hemos dicho, se divide en: números naturales, números enteros, números racionales y números irracionales. ¿Qué caracteriza a cada uno de estos números? Vamos a verlo de forma detallada.

1. Números naturales

Como veíamos, dentro de los números reales encontramos diferentes tipos de números. En el caso de los números naturales, se trata de los números que utilizamos para contar (por ejemplo: tengo 5 monedas en la mano). Es decir: el 1, 2, 3, 4, 5, 6… Los números naturales siempre son enteros (es decir, un número natural no podría ser “3,56”, por ejemplo).

Los números naturales se expresan mediante la letra “N” manuscrita. Se trata de un subconjunto de los números enteros.

Dependiendo de la definición, encontramos que los números naturales, o bien empiezan a partir del 0, o bien a partir del 1. Este tipo de números se utilizan como ordinales (por ejemplo soy el segundo) o como cardinales (tengo 2 pantalones).

A partir de los números naturales, se “construyen” otro tipo de números (son la “base” de partida): los enteros, racionales, reales… Algunas de sus propiedades son: la suma, la resta, la división y la multiplicación; es decir, se pueden realizar estas operaciones matemáticas con ellos.

2. Números enteros

Otros números que forman parte de la clasificación de los números reales son los números enteros, que se representan mediante la “Z” (Z).

Incluyen: el 0, los números naturales y los números naturales con signo negativo (0, 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4…). Los números enteros son un subconjunto de los números racionales.

Así, se trata de aquellos números escritos sin fracción, es decir, “de forma entera”. Pueden ser positivos o negativos (por ejemplo: 5, 8, -56, -90, etc.). En cambio, los números que incluyen decimales (como por ejemplo “8,90”) o que resultan de algunas raíces cuadradas (por ejemplo √2), no son números enteros.

Los números enteros también incluyen el 0. En realidad, los números enteros forman parte de los números naturales (son un grupo pequeño de estos).

3. Números racionales

Los siguientes números dentro de la clasificación de los números reales, son los números racionales. En este caso, los números racionales son cualquier número que se pueda expresar como el componente de dos números enteros, o como su fracción.

Por ejemplo 7/9 (se suele expresar mediante “p/q”, donde la “p” es el numerador y la “q” el denominador). Como el resultado de estas fracciones puede ser un número entero, los números enteros son números racionales.

El conjunto de este tipo de números, los racionales, se expresa mediante una “Q” (mayúscula). Así, los números decimales que son números racionales, son de tres tipos:

• Decimales exactos: como por ejemplo “3,45”.
• Decimales periódicos puros: como por ejemplo “5,161616…” (ya que el 16 se repite de forma indefinida).
• Decimales periódicos mixtos: como por ejemplo “6,788888… (el 8 se repite de forma indefinida).

El hecho de que los números racionales formen parte de la clasificación de los números reales, implica que sean un subconjunto de este tipo de números.

4. Números irracionales

Finalmente, en la clasificación de los números reales encontramos también los números irracionales. Los números irracionales se representan como: “R-Q”, que significa: “el conjunto de los reales menos el conjunto de los racionales".

Este tipo de números son todos aquellos números reales que no son racionales. Así, estos no se pueden expresar como fracciones. Se trata de números que tienen infinitos decimales, y que no son periódicos.

Dentro de los números irracionales, podemos encontrar el número pi (expresado mediante π), que consiste en la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. También encontramos algunos otros, tales como: el número de Euler (e), el número áureo (φ), las raíces de números primos (por ejemplo √2, √3, √5, √7…), etc.

Igual que los anteriores, al formar parte de la clasificación de los números reales, se trata de un subconjunto de estos últimos.

El sentido de los números y las matemáticas

¿De qué sirven las matemáticas y el concepto de los números? ¿Pare qué podemos utilizar las matemáticas? Sin ir más lejos, en nuestro día a día utilizamos constantemente las matemáticas: para calcular cambios, para pagar, para calcular gastos, para calcular tiempos (de trayectos, por ejemplo), para comparar horarios, etc.

Lógicamente, más allá del día, las matemáticas y los números tienen infinidad de aplicaciones, sobre todo en el terreno de la ingeniería, de la informática, las nuevas tecnologías, etc. A partir de ellas podemos fabricar productos, calcular datos que nos interesen, etc.

Por otro lado, más allá de las ciencias de las matemáticas, hay otras ciencias que, en realidad, son matemáticas aplicadas, tales como: la física, la astronomía y la química. Otras ciencias o carreras tan importantes como la medicina o la biología, también están “empapadas” de matemáticas.

Así que, prácticamente se puede decir que... ¡vivimos entre números! Habrá personas que los utilicen para trabajar, y otras para realizar cálculos más sencillos de su día a día.

Estructurar la mente

Por otro lado, los números y las matemáticas estructuran la mente; permiten que vayamos creando “cajones” mentales donde organizar e incorporar la información. Así que, en realidad, las matemáticas no sólo sirven para “sumar o restar”, sino también para compartimentalizar nuestro cerebro y nuestras funciones mentales.

Finalmente, lo bueno de comprender los diferentes tipos de números, como en este caso los incluidos en la clasificación de los números reales, nos ayudará a potenciar nuestro razonamiento abstracto, más allá de las matemáticas.

Referencias bibliográficas:

• Coriat, M. y Scaglia, S. (2000). Representación de los números reales en la recta. Enseñanza de las ciencias, 18(1): 25-34.

• Romero, I. (1995). La introducción del número real en educación secundaria. Tesis doctoral. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.

• Skemp, R.R. (1993). Psicología del aprendizaje de las matemáticas. Morata, 3ª Ed. Madrid.