Matemáticas

Notación factorial: concepto, ejemplos y ejercicios

La notación factorial se usa para calcular el producto de los primeros n números naturales, es decir, los enteros positivos, comenzando desde el 1 hasta el valor de n. Se denota mediante un signo de admiración y se llama n factorial:

n! = 1⋅2⋅3…. (n-1)⋅n

Calcular el factorial de un número es sencillo, por ejemplo, el producto de los seis primeros números naturales se expresa mediante:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Los factoriales aparecen en temas como el binomio de Newton y la teoría combinatoria que se usa frecuentemente en el cálculo de probabilidades. En estos aparecen con frecuencia los llamados números combinatorios que se pueden expresar como factoriales.

La notación n! es la creación del médico y matemático francés Christian Kramp (1760-1826) cuyo trabajo en matemáticas se centró en el área de la función factorial generalizada. De manera independiente, los factoriales también fueron descubiertos por otro matemático francés: Louis Arbogast (1759-1803), contemporáneo de Kramp.

Al igual que con las sumatorias, hay una forma de expresar el producto de los primeros n números naturales de una forma resumida:

Propiedades de la notación factorial

Sean m y n dos enteros positivos, se cumple que:

  1. Por conveniencia se acordó definir 0! como igual a 1, es decir: 0! = 1.
  2. El valor de 1! = 1
  3. Si a! = b!, significa que a = b, siempre que a⋅b ≠ 0. La excepción son los valores 0 y 1, ya que 1! = 1 = 0!, como se acaba de enunciar, pero es claro que 1 ≠ 0.
  4. Si m n, entonces m! n! y por tanto m! está contenido en n!:
    n! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1)⋅m…n
  5. Para n mayor o igual a 2 se tiene que:
    n! = n⋅(n-1)!
    Ya que según la definición:
    n! = [1⋅2⋅3⋅ 4⋅5 …. (n-1)]⋅n
    La expresión contenida entre corchetes es precisamente (n-1)!
  6. n⋅n! = (n+1)! – n!
    En efecto, planteando las operaciones del lado derecho de la igualdad:
    (n+1)! – n! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 … n ⋅ (n+1)] – [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5 …. n] =
    =[1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5 …. n]⋅[(n+1) – 1] = [1 ⋅2⋅3⋅ 4 ⋅5 …. n]⋅ n = n! ⋅ n

Co-factoriales, semi-factoriales o cuasi-factoriales de un número

El semifactorial de un número natural depende de si es par o impar. En la notación se emplea el doble signo de admiración o doble factorial y se define mediante la siguiente regla:

–Si n es par:

n!! = 2⋅4⋅6⋅8 …n

–Si n es impar:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7 … n

Fórmulas para los semi-factoriales

Las siguientes fórmulas ayudan a calcular más fácilmente los semi-factoriales, sobre todo cuando se trata de números grandes.

Se observa lo siguiente para el caso de que n sea par:

n!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2)⋅(2⋅3) ⋅(2⋅4) …  2⋅(n/2) = (2⋅ 2⋅2⋅2.…) ⋅[1⋅2⋅3⋅4… (n/2)] =

= 2(n/2) . (n/2)!

Y si n es impar, entonces:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7 … n

Multiplicando y dividiendo a la vez por [2 . 4 . 6… (n – 1)], la expresión queda:

n!! = {[1⋅3⋅5⋅7 … n] ⋅ [2⋅4⋅6… (n -1)]} ÷ [2⋅4⋅6… (n – 1)]

Pero la cantidad que está entre llaves es:

1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7 …. (n -1)⋅n

Y esto es n!, según lo visto anteriormente, entonces, al sustituir:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

Lo que está entre corchetes se reescribe así:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2[(n-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Por lo tanto:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ {2[(n-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!}

Ejemplos

Las propiedades anteriores se aplican para simplificar expresiones que contienen factoriales, teniendo en cuenta que, en general, las siguientes expresiones no son equivalentes:

  1. (m ± n)! ≠ m! ± n!
  2. (m x n)! ≠ m! x n!
  3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
  4. (mn)! ≠ (m!)n
  5. (m!)! ≠ m!!

Ejemplo 1

Al calcular directamente estos factoriales:

a) 5!

b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

Se obtienen los valores:

a) 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2⋅4 = 8

d) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

e) 14!! = 14⋅12⋅10⋅8⋅6⋅4⋅2 = 645120

f) (2n+1)!! = 1⋅3⋅5⋅7. .. (2n–3)⋅(2n–1) ⋅ (2n+1)

Los resultados de a) hasta e) también se pueden corroborar con una calculadora. Las calculadoras científicas tienen una función para calcular directamente el valor de x!.

Como se puede ver, los resultados de los factoriales, salvo con números pequeños, son valores que crecen muy rápidamente.

Ejemplo 2

Las siguientes expresiones fraccionarias se pueden simplificar al usar las propiedades:

Ejercicios resueltos

Ejercicio resuelto 1

Comprobar, empleando la fórmula de los co-factoriales, estos resultados obtenidos previamente:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Solución a

Ya que 11 es impar, se sustituyen cuidadosamente los valores en la fórmula apropiada:

n!! = n! ÷ {2[(n-1)/2] . [(n-1)/2)]!}

Y después se simplifica el resultado mediante las propiedades de los factoriales:

11!! = 11! ÷ {2[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]!} = 11! ÷ {2[(10)/2] . [(10)/2)]!} = 11! ÷ {25 . 5!} =  (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Como es de esperar, se obtuvo el mismo resultado que al calcular 11!! directamente, sin embargo, emplear la fórmula es ventajoso para un valor de n grande, ya que permite expresar el doble factorial como producto de dos factores.

Solución b

Mediante la aplicación de la fórmula de semi-factoriales para n par, y sustituyendo valores, se obtiene lo siguiente:

14!!=  2(14/2) ⋅ (14/2)! =  27 ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Ejercicio resuelto 2

Escribir las siguientes operaciones como cocientes de factoriales:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

b) n⋅(n-1)⋅(n-2)⋅(n-3)

c) (n-1)⋅(n-2)….(n-9)

Solución a

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Solución b

n⋅(n-1)⋅(n-2)⋅(n-3) = n! / (n – 4)!

Solución c

(n-1)⋅(n-2)….(n-9) = (n-1)! / (n-10)!

Ejercicio resuelto 3

Se tienen 4 cuadrados de colores: azul, naranja, violeta y verde, y se los quiere ubicar alineados uno después de otro sobre una mesa. ¿De cuántas maneras se pueden colocar los cuadrados?

Solución

Hay varias maneras de disponer los cuadrados, por ejemplo fijando el color azul primero. Aquí hay unas cuantas opciones:

-Azul, naranja, violeta y verde

-Azul, verde, naranja y violeta

-Azul, violeta, verde y naranja

Y así sucesivamente. El lector puede comprobar que hay 6 combinaciones de cuadrados que empiezan con azul.

Nótese que al fijar un color como primera opción, se pueden arreglar los otros 3 colores. Una vez que se fija el segundo, quedan 2 para escoger, y una vez seleccionado este color, solo resta 1 color.

Esto se puede expresar mediante el producto: 4⋅3⋅2⋅1, que es el factorial de 4!:

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Se concluye que en total, hay 24 combinaciones posibles.

A esta manera de organizar se llama permutación, en la cual importa el orden en que se coloquen los elementos.

Ejercicio resuelto 4

Resolver las siguientes ecuaciones:

a) (x2 + x)! = 720

Solución a

Al comienzo se vio que 6! = 720, por lo tanto:

(x2 + x)! = 6!

Luego, la cantidad que está entre paréntesis debe ser 6:

x2 + x = 6

Esta es una ecuación de segundo grado en x:

x2 + x – 6 = 0

Esta ecuación se puede resolver empleando la fórmula general o mediante la factorización del trinomio.

Empleando este último método, el trinomio se factoriza así:

x2 + x – 6 = (x+3)⋅(x-2) = 0

Las soluciones de la ecuación son x1 = -3 y x2 = 2

Solución b

Se factorizan tanto el numerador como el denominador, con miras a simplificar lo más que se pueda la expresión. Para comenzar, en el denominador se puede factorizar (x+7)!

Como (x+9)! = (x+9)⋅(x+8)! se puede cancelar el denominador y queda:

(x+8)! = 14!

Haciendo uso de la propiedad 3 resulta una ecuación sencilla:

x+8 = 14

x = 6

Referencias

  1. Hoffman, J.G. Selección de Temas de Matemática. Ed. Sphinx.
  2. Lipschutz, S. 2007. Matemática Discretas. Serie Schaum. 3ra. Edición. McGraw Hill.
  3. Math is Fun. Factorial function. Recuperado de: mathisfun.com.
  4. Smartick. Factoriales ¿Para qué los usamos?. Recuperado de: smartick.es.
  5. Stewart, J. 2006. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. 5ta. Edición. Cengage Learning.