Corolario (geometría): qué es, definición, ejemplos
¿Qué es un corolario en geometría?
Un corolario es un resultado muy utilizado en geometría para indicar un resultado inmediato de algo ya demostrado. Por lo general, en geometría los corolarios aparecen después de la demostración de un teorema.
Por ser un resultado directo de un teorema ya demostrado o de una definición ya conocida, los corolarios no requieren demostración. Son resultados muy fáciles de comprobar y por tanto, su demostración se omite.
Los corolarios son términos que se suelen encontrar mayormente en el ámbito de las matemáticas. Pero no está limitado a usarse solo en el área de la geometría.
La palabra corolario proviene del latín corollarium, y es utilizado comúnmente en las matemáticas, teniendo mayor aparición en las áreas de lógica y geometría.
Cuando un autor utiliza un corolario, está diciendo que ese resultado lo puede descubrir o deducir el lector por sí mismo, utilizando como herramienta algún teorema o definición explicados previamente.
Ejemplos de corolarios
A continuación se presentan dos teoremas (los cuales no serán demostrados), seguidos cada uno por uno o varios corolarios que se deducen a partir de dicho teorema. Además, se anexa una pequeña explicación de cómo se demuestra el corolario.
– Teorema 1
En un triángulo rectángulo se cumple que c²=a²+b², donde a, b y c son los catetos y la hipotenusa del triángulo respectivamente.
Corolario 1.1
La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene mayor longitud que cualquiera de los catetos.
Explicación: al tener que c²=a²+b², se puede deducir que c²>a² y c²>b², de donde se concluye que “c” siempre será mayor que “a” y “b”.
– Teorema 2
La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.
Corolario 2.1
En un triángulo rectángulo, la suma de los ángulos adyacentes a la hipotenusa es igual a 90°.
Explicación: en un triángulo rectángulo hay un ángulo recto, es decir, que su medida es igual a 90°. Usando el teorema 2 se tiene que 90°, más las medidas de los otros dos ángulos adyacentes a la hipotenusa, es igual a 180°. Al despejar se obtendrá que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes es igual a 90°.
Corolario 2.2
En un triángulo rectángulo los ángulos adyacentes a la hipotenusa son agudos.
Explicación: utilizando el corolario 2.1 se tiene que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes a la hipotenusa es igual a 90°, por lo tanto, la medida de ambos ángulos debe ser menor que 90° y como resultado, dichos ángulos son agudos.
Corolario 2.3
Un triángulo no puede tener dos ángulos rectos.
Explicación: si un triángulo tiene dos ángulos rectos, entonces al sumar las medidas de los tres ángulos se obtendrá un número mayor a 180°, y esto no es posible gracias al teorema 2.
Corolario 2.4
Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso.
Explicación: si un triángulo tiene dos ángulos obtusos, al sumar sus medidas se obtendrá un resultado mayor que 180°, lo cual contradice el teorema 2.
Corolario 2.5
En un triángulo equilátero la medida de cada ángulo es 60°.
Explicación: un triángulo equilátero también es equiángulo, por lo tanto, si “x” es la medida de cada ángulo, entonces al sumar la medida de los tres ángulos se obtendrá 3x=180°, de donde se concluye que x=60°.