Reglas de derivación (con ejemplos)

¿Qué son las reglas de derivación?

Las reglas de derivación son el conjunto de indicaciones a seguir para encontrar la derivada ordinaria de una función de variable real f(x).

La derivada ordinaria de la función f(x), denotada como f’(x), se interpreta como la tasa de cambio instantánea de dicha función respecto a la variable x. Gráficamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva de f(x), calculada en un punto dado cuya coordenada es x_o, tal como se representa en la figura de abajo.

Ahora bien, analíticamente la derivada se calcula a través del siguiente límite:

Entonces, cada vez que se requiera la derivada de alguna función, habría que evaluar el límite como se indica. Sin embargo, existen las reglas de derivación, que se memorizan fácilmente con un poco de práctica y ahorran el trabajo de calcular el límite, lo cual en algunos casos es engorroso.

¿Cuáles son las reglas de derivación?

Las reglas de derivación que se muestran a continuación se obtienen fácilmente a través de la definición formal de derivada.

1. Derivadas inmediatas

Derivada de una constante

La derivada de una constante k es 0:

f(x) = k ⇒ f’(x)=0

• Ejemplo

f(x) = 5, entonces f’(5) = 0

Derivada de x

La derivada de f(x) = x siempre es 1, es decir que:

f(x)=x, luego f’(x) = 1

2. Derivada de la función lineal

La función lineal tiene la forma:

f(x) = ax

Donde a es un número real.

Su derivada es:

f’(x) = a

• Ejemplo

Sea f(x) = 3x, entonces:

f’(x) = 3

3. Derivada de una suma

Si f(x) es la suma o resta de dos funciones u y v, ambas diferenciables:

f(x) = u ± v

Entonces:

f’(x)= u’(x) ± v’(x)

Derivada de la función afín

La función afín es la suma de dos términos:

f(x) = ax + b

Donde a y b son números reales. Aplicando la regla de la suma:

f’(x) = (ax)’ + (b)’

Pero:

(ax)’ = a  (Regla 2)

(b)’ = 0   (Regla 1)

Por lo tanto:

f’(x) = a

• Ejemplo

La derivada de f(x) = −8x + 6 es:

f’(x) = (−8x)’ + (6)’ = −8

4. Derivada de una potencia

Caso 1

Sea f(x) una función potencial de la forma f(x) = xⁿ, entonces:

f(x) = xⁿ ⇒ f’(x)=n∙xⁿ⁻¹

• Ejemplo

Al derivar:

f(x) = x³

Resulta:

f’(x) = 3⋅x³⁻¹ = 3x²

Caso 2

Si la función tiene la forma f(x) = axⁿ, donde a es un número real, este sale fuera de la derivada:

f’(x) = a∙nxⁿ⁻¹

• Ejemplo

Derivar:

f(x) = 4x⁵

Se obtiene:

f’(x) = 4∙5 x⁵⁻¹ = 20x⁴

Caso 3

Si el exponente es fraccionario, se procede de la misma forma que se explicó en los casos 1 y 2. Esto ocurre cuando la variable x se encuentra como argumento de una raíz.

• Ejemplo

Sea la función:

f(x) = 3x^3/2

La derivada es:

5. Derivada del producto

La regla del producto se aplica a funciones con forma de producto entre dos funciones u y v, ambas diferenciables:

f(x) = u∙v

f’(x) = u’∙v + u∙v’

Es decir, la derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera, por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar, multiplicado por la derivada de la segunda.

• Ejemplo

Hallar, siguiendo la regla del producto y las reglas antes descritas, la derivada de:

g(x) = (2x+3)(4x²−1)

Lo primero es decidir quiénes son u y v, recordando que el orden de los factores no altera el producto, se pueden elegir de esta forma:

• u = 2x+3
• v = 4x²−1

Seguidamente se plantea la regla del producto y se resuelven las derivadas indicadas, de acuerdo a las reglas antes descritas:

g’(x) = (2x+3)’(4x²−1) + (2x+3)(4x²−1)’

Se tiene que:

• (2x+3)’ = 2
• (4x²−1)’= 8x

Sustituyendo:

g’(x) =2x(4x²−1)+(2x+3)8x

La derivada ya está lista, pero la expresión aún puede factorizarse:

g’(x) =2x[4x²−1+8(2x+3)] =

=2x[4x²−1+16x+24]=

=2x(4x²+16x+23)

Este resultado también puede obtenerse aplicando previamente la propiedad distributiva al producto (2x+3)(4x²−1) y posteriormente haciendo uso de las reglas del 1 al 4. Se deja como ejercicio para el lector.

6. Derivada del cociente

Sea una función de la forma:

Con la condición v ≠ 0, y que ambas, u y v, sean diferenciables. En tal caso, su derivada se calcula a través de:

• Ejemplo

Hallar la derivada de:

Para este ejemplo se tiene que:

• u = x+1
• v = x²

El planteamiento de la regla del cociente conduce a:

Para lo cual es necesario sustituir lo siguiente:

• (x+1)’ = 1
• (x²)’ = 2x
• (x²)² = x⁴

Y al sustituir queda:

Aplicando propiedad distributiva en el numerador y reduciendo términos, la expresión para f''(x) es:

El ejercicio se podía haber resuelto de otra manera, reescribiendo f(x) como:

f(x)=(x+1)∙x⁻²

Y aplicando seguidamente la regla del producto y algo de álgebra. Se deja como ejercicio para el lector comprobar que se obtiene idéntico resultado.

7. La regla de la cadena

Aplica a funciones compuestas, de la forma:

f= f (u)

Donde u = g(x)

Su derivada se lleva a cabo así:

f’(x) = f’(u)∙u’ = f’[g(x)] ∙g’(x)

A g’(x) se la conoce como la derivada interna. Aplicar la regla de la cadena es más fácil de lo que parece a primera vista, véase este ejemplo:

• Ejemplo

Aplicando la regla de la cadena, hallar la derivada de:

f(x) = (2x²-1)⁷

u = g(x) = 2x²-1

Por lo tanto, f(u) = u⁷ y su derivada, según la regla 4 es:

f’(u) = 7u⁶ = 7(2x²-1)⁶

Se guarda este resultado y se calcula la derivada interna g’(x):

g’(x) =u’ = (2x²-1)’ = (2x²)’-(1)’

Aquí es necesario aplicar sucesivamente las reglas: 3 (para la suma/resta de funciones), 4 (para las potencias) y 1 (para la derivada de una constante).

Se obtiene:

g’(x) = (2x²)’-(1)’ = 4x

El último paso es multiplicar los resultados:

f’(x)= 7(2x²-1)⁶∙4x

Y por último reacomodar los factores:

f’(x)= 28x∙(2x²-1)⁶

8. Derivadas de las funciones trigonométricas

Las derivadas de las funciones trigonométricas son:

• Ejemplo

Derivar:

h(x) = sen (4x)

Haciendo u = 4x y aplicando la regla de la cadena se obtiene:

h''(x) = 4cos (4x)

9. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

Se muestran en la siguiente tabla:

• Ejemplo

Derivar:

g(x) = arct tg (–2x)

Siempre teniendo presente la regla de la cadena, se hace u =–2x y la derivada resulta:

10. Derivadas de las funciones exponencial y logarítmica

Función exponencial

Si la base es el número e:

f(x) = e^x ⇒ f’(x) = e^x

Cuando la base es un número a:

f(x) = a^x ⇒ f’(x) = (ln a)∙a^x

Función logarítmica

Cuando se deriva una función logaritmo neperiano:

f(x) =ln x

En el caso de un logaritmo en otra base:

f(x) = log_a x

• Ejemplo

Derivar:

h(x) = x∙lnx

11. Derivada implícita

Se utilizan cuando el despeje de y(x) no es inmediato, por lo tanto, no se tiene una expresión explícita para f(x), como sucede en los casos anteriores. Aun así, es posible encontrar la derivada con el procedimiento que se ilustra en el siguiente ejemplo:

• Ejemplo

Derivar implícitamente la siguiente expresión para hallar y’:

4x³+11xy²−2y³ = 0

Como se puede ver, no es fácil hallar la y en función de x directamente, así que para encontrar la derivada pedida, se aplican las reglas antes descritas, derivando a ambos lados de la igualdad:

(4x³)’+ [11(x)’+11x(y²)’] − (2y³)’= 0 (Regla de la suma y regla del producto)

El objetivo es despejar y’, que es la derivada buscada, para la cual se aplica la regla de la cadena:

12x² + [11 + 11x∙2yy’] – 6y²y’ = 12x² + 11 + 22xy∙y’ – 6y² ∙y’= 0

y’∙ (22xy − 6y²) + 12x² + 11 = 0