Polígono convexo: definición, elementos, propiedades, ejemplos
Un polígono convexo es una figura geométrica contenida en un plano que se caracteriza porque dispone de todas sus diagonales en su interior y sus ángulos miden menos de 180º. Entre sus propiedades se encuentran las siguientes:
1) Consta de n segmentos consecutivos donde el último de los segmentos se une al primero. 2) Ninguno de los segmentos se cruzan de modo tal que delimita el plano en una región interior y otra exterior. 3) Todos y cada uno de los ángulos de la región interior son estrictamente menores que un ángulo plano.
Una forma sencilla de determinar si un polígono es convexo o no consiste en considerar la recta que pasa por uno de sus lados, la cual determina dos semiplanos. Si en cada recta que pasa por un lado, los otros lados del polígono están en el mismo semiplano, se trata entonces de un polígono convexo.
Índice del artículo
Todo polígono consta de los siguientes elementos:
– Lados
– Vértices
Los lados son cada uno de los segmentos consecutivos que conforman el polígono. En un polígono ninguno de los segmentos que lo conforman puede tener un extremo abierto, en ese caso se tendría una línea poligonal pero no un polígono.
Los vértices son los puntos de unión de dos segmentos consecutivos. En un polígono, el número de vértices siempre iguala al número de lados.
Si dos lados o segmentos de un polígono se cruzan, entonces se tiene un polígono cruzado. El punto de cruce no se considera un vértice. Un polígono cruzado es un polígono no-convexo. Los polígonos estrellados son polígonos cruzados y por tanto no son convexos.
Cuando un polígono tiene todos sus lados de la misma longitud, se tiene entonces un polígono regular. Todos los polígonos regulares son convexos.
La figura 1 muestra varios polígonos, algunos de ellos son convexos y otros no lo son. Vamos a analizarlos:
El número 1 es un polígono de tres lados (triángulo) y todos los ángulos internos son menores a 180º, por lo tanto es un polígono convexo. Todos los triángulos son polígonos convexos.
El número 2 es un polígono de cuatro lados (cuadrilátero) donde ninguno de los lados se intercepta y además todos y cada uno de los ángulos interiores es menor de 180º. Se trata entonces de un polígono convexo de cuatro lados (cuadrilátero convexo).
Por otra parte, el número 3 es un polígono de cuatro lados pero uno de sus ángulos interiores es mayor que 180º, por lo que no cumple la condición de convexidad. Es decir, es un polígono de cuatro lados no-convexo que se denomina cuadrilátero cóncavo.
El número 4 es un polígono de cuatro segmentos (lados), dos de los cuales se interceptan. Los cuatro ángulos interiores son menores que 180º, pero como dos lados se cruzan se trata de un polígono cruzado no-convexo (cuadrilátero cruzado).
Otro caso es el número 5. Este se trata de un polígono de cinco lados, pero como uno de sus ángulos interiores es mayor que 180º, se tiene entonces un polígono cóncavo.
Finalmente, el número 6, que también dispone de cinco lados, tiene todos sus ángulos interiores menores a 180º, por lo que se trata de un polígono convexo de cinco lados (pentágono convexo).
1- Un polígono no-cruzado o polígono simple divide al plano que lo contiene en dos regiones. La región interior y la región exterior, siendo el polígono la frontera entre las dos regiones.
Pero si adicionalmente el polígono es convexo, entonces se tiene una región interior que es simplemente conexa, lo que significa que tomando dos puntos cualesquiera de la región interior, siempre puede unirse por un segmento que pertenece en su totalidad a la región interior.
2- Todo ángulo interior de un polígono convexo es menor que un ángulo plano (180º).
3- Todos los puntos interiores de un polígono convexo siempre pertenecen a uno de los semiplanos definidos por la recta que pasa por dos vértices consecutivos.
4- En un polígono convexo todas las diagonales están totalmente contenidas en la región poligonal interior.
5- Los puntos interiores de un polígono convexo pertenecen en su totalidad al sector angular convexo definido por cada ángulo interior.
6- Todo polígono en el que todos sus vértices están sobre un circunferencia es un polígono convexo el cual se denomina polígono cíclico.
7- Todo polígono cíclico es convexo, pero no todo polígono convexo es cíclico.
8- Todo polígono no-cruzado (polígono simple) que tenga todos sus lados de igual longitud es convexo y se le conoce como polígono regular.
9- El número total N de diagonales de un polígono convexo de n lados está dado por la siguiente fórmula:
N = ½ n ( n – 3 )
Demostración: En un polígono convexo de n lados de cada vértice se trazan n – 3 diagonales, puesto que quedan excluidos el propio vértice y los dos adyacentes. Como hay n vértices se trazan en total n (n – 2) diagonales, pero cada diagonal fue trazada dos veces, por lo que el número de diagonales (sin repetición) es n(n-2)/2.
10- La suma S de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados está dada por la siguiente relación:
S = ( n – 2 ) 180º
Demostración: De un vértice se trazan n-3 diagonales que definen n-2 triángulos. La suma de los ángulos internos de cada triángulo es 180º. La suma total de los ángulos de los n-2 triángulos es (n-2)*180º, la cual coincide con la suma de los ángulos internos del polígono.
Hexágono cíclico, es un polígono de seis lados y seis vértices, pero todos los vértices están sobre la misma circunferencia. Todo polígono cíclico es convexo.
Determinar el valor de los ángulos internos de un eneágono regular.
Solución: El eneágono es un polígono de 9 lados, pero si además es regular todos sus lados y ángulos son iguales.
La suma de todos los ángulos internos de un polígono de 9 lados es:
S = ( 9 – 2 ) 180º = 7 * 180º = 1260º
Pero se tienen 9 ángulos internos de igual medida α, por lo que debe cumplirse la siguiente igualdad:
S = 9 α = 1260º
De donde se deduce que la medida α de cada ángulo interno del eneágono regular es:
α = 1260º/9 = 140º