Tipos de conjuntos (con ejemplos)
Las clases de conjuntos se pueden clasificar en iguales, finitos e infinitos, subcojuntos, vacíos, disjuntos o disyuntivos, equivalentes, unitarios, superpuestos o solapados, congruentes y no congruentes, entre otros.
Un conjunto es una colección de objetos, pero son necesarios nuevos términos y símbolos para poder hablar con sensatez acerca de los conjuntos. Por ejemplo, se dice conjunto de caballos, conjunto de números reales, conjunto de personas, conjunto de perros, etc.
En el lenguaje ordinario, se da sentido al mundo en que vivimos clasificando cosas. El español tiene muchas palabras para tales colecciones. Por ejemplo, «una bandada de aves», «un rebaño de ganado», «un enjambre de abejas» y «una colonia de hormigas».
En matemática se hace algo similar cuando se clasifican números, figuras geométricas, etc. Los objetos de estos conjuntos se llaman elementos del conjunto.
Descripción de un conjunto
Un conjunto puede describirse enumerando todos sus elementos. Por ejemplo,
S = {1, 3, 5, 7, 9}.
«S es el conjunto cuyos elementos son 1, 3, 5, 7 y 9». Los cinco elementos del conjunto están separados por comas y se listan entre llaves.
Un conjunto también puede delimitarse presentando una definición de sus elementos entre corchetes. Así, el conjunto S anterior también puede escribirse como:
S = {números enteros impares inferiores a 10}.
Un conjunto debe estar bien definido. Esto significa que la descripción de los elementos de un conjunto debe ser clara e inequívoca. Por ejemplo, {gente alta} no es un conjunto, porque las personas tienden a no estar de acuerdo con lo que significa ‘alto’. Un ejemplo de un conjunto bien definido es
T = {letras del alfabeto}.
Tipos de conjuntos
1- Conjuntos iguales
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.
Por ejemplo:
- Si A = {Vocales del alfabeto} y B = {a, e, i, o, u} se dice que A = B.
- Por otro lado, los conjuntos {1, 3, 5} y {1, 2, 3} no son iguales, porque tienen diferentes elementos. Esto se escribe como {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
- El orden en que los elementos están escritos dentro los corchetes no importa en absoluto. Por ejemplo, {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
- Si un elemento aparece en la lista más de una vez, sólo se contabiliza una vez. Por ejemplo, {a, a, b} = {a, b}.
El conjunto {a, a, b} tiene sólo los dos elementos a y b. La segunda mención de a es una repetición innecesaria y puede ser ignorada. Normalmente se considera mala notación cuando se enumera a un elemento más de una vez.
2- Conjuntos finitos e infinitos
Los conjuntos finitos, son aquellos en donde pueden ser contabilizados o enumerados todos elementos del conjunto. Aquí hay dos ejemplos:
- {Números enteros entre 2.000 y 2.005} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004}
- {Números enteros entre 2.000 y 3.000} = {2.001, 2.002, 2.003, …, 2.999}
Los tres puntos ‘…’ en el segundo ejemplo representan los otros 995 números en el conjunto. Se pudo haber listado a todos los elementos, pero para ahorrar espacio se utilizaron puntos en su lugar. Esta notación sólo puede utilizarse si está completamente claro lo que significa, como en esta situación.
Un conjunto también puede ser infinito – lo único que importa es que esté bien definido. Aquí hay dos ejemplos de conjuntos infinitos:
- {Números pares y enteros mayores o iguales a dos} = { 2, 4, 6, 8, 10, …}
- {Números enteros mayores que 2.000} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004, …}
Ambos conjuntos son infinitos, ya que no importa cuántos elementos se intente enumerar, siempre hay más elementos en el conjunto que no podrán ser listados, no importa cuánto tiempo se pruebe. Esta vez los puntos ‘…’ tienen un significado ligeramente diferente, porque representan infinitamente muchos elementos no enumerados.
3- Conjuntos subconjuntos
Un subconjunto es una parte de un conjunto.
- Ejemplo: Los búhos son un tipo particular de aves, así que cada búho es también un ave. En el lenguaje de los conjuntos, se expresa diciendo que el conjunto de búhos es un subconjunto del conjunto de las aves.
Un conjunto S es llamado un subconjunto de otro conjunto T, si cada elemento de S es un elemento de T. Esto se escribe como:
- S ⊂ T (Se lee “S es un subconjunto de T”)
El nuevo símbolo ⊂ significa ‘es un subconjunto de’. Así {búhos} ⊂ {pájaros} porque cada búho es un pájaro.
- Si A = {2, 4, 6} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces A ⊂ B,
Porque cada elemento de A es un elemento de B.
El símbolo ⊄ quiere decir ‘no es un subconjunto’.
Esto significa que al menos un elemento de S no es un elemento de T. Por ejemplo:
- {Aves} ⊄ {criaturas voladoras}
Porque un avestruz es un ave, pero no vuela.
- Si A = {0, 1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 4, 5, 6}, entonces A ⊄
Porque 0 ∈ A, pero 0 ∉ B, se lee “0 pertenece al conjunto A”, pero “0 no pertenece al conjunto B”.
4- Conjunto vacío
El símbolo Ø representa el conjunto vacío, que es el conjunto que no tiene elementos en absoluto. Nada en el universo entero es un elemento de Ø:
- | Ø | = 0 y X ∉ Ø, no importa lo que X puede ser.
Sólo hay un conjunto vacío, porque dos conjuntos vacíos tienen exactamente los mismos elementos, por lo que deben ser iguales entre sí.
5- Conjuntos disjuntos o disyuntivos
Dos conjuntos se llaman disjuntos si no tienen elementos en común. Por ejemplo:
- Los conjuntos S = {2, 4, 6, 8} y T = {1, 3, 5, 7} son disjuntos.
6- Conjuntos equivalentes
Se dice que A y B son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos que los constituyen, es decir, el número cardinal del conjunto A es igual al número cardinal del conjunto B, n (A) = n (B). El símbolo para denotar un conjunto equivalente es ‘↔’.
- Por ejemplo:
A = {1, 2, 3}, por lo tanto, n (A) = 3
B = {p, q, r} , por lo tanto, n (B) = 3
Por lo tanto, A ↔ B
7- Conjuntos unitarios
Es un conjunto que tiene exactamente un elemento en él. En otras palabras, sólo hay un elemento que conforma el conjunto.
Por ejemplo:
- S = {a}
- Sea B = { es un número primo par}
Por lo tanto, B es un conjunto unitario porque sólo hay un número primo que es par, es decir, 2.
8- Conjunto universal o referencial
Un conjunto universal es la colección de todos los objetos en un contexto particular o teoría. Todos los demás conjuntos en ese marco constituyen subconjuntos del conjunto universal, que se denomina con la letra mayúscula y cursiva U.
La definición precisa de U depende del contexto o teoría bajo consideración. Por ejemplo:
- Se puede definir U como el conjunto de todas las cosas vivientes en el planeta Tierra. En ese caso, el conjunto de todos los felinos es un subconjunto de U, el conjunto de todos los peces es otro subconjunto de U.
- Si se define U como el conjunto de todos los animales en planeta tierra, entonces el conjunto de todos los felinos es un subconjunto de U, el conjunto de todos los peces es otro subconjunto de U, pero el conjunto de todos los árboles no es un subconjunto de U.
9- Conjuntos superpuestos o solapados
Dos conjuntos que tienen al menos un elemento común se llaman conjuntos superpuestos.
- Ejemplo: Sean X = {1, 2, 3} e Y = {3, 4, 5}
Los dos conjuntos X e Y tienen un elemento en común, el número 3. Por lo tanto, se llaman conjuntos superpuestos.
10- Conjuntos congruentes.
Son aquellos conjuntos en los que cada elemento de A tiene la misma relación de distancia con sus elementos imagen de B. Ejemplo:
- B { 2, 3, 4, 5, 6 } y A { 1, 2, 3, 4, 5 }
La distancia entre: 2 y 1, 3 y 2, 4 y 3, 5 y 4, 6 y 5 es una (1) unidad, por lo que A y B son conjuntos congruentes.
11- Conjuntos no congruentes
Son aquellos en los que no se puede establecer la misma relación de distancia entre cada elemento de A con su imagen en B. Ejemplo:
- B { 2, 8, 20, 100, 500 } y A { 1, 2, 3, 4, 5 }
La distancia entre: 2 y 1, 8 y 2, 20 y 3, 100 y 4, 500 y 5 es diferente, por lo que A y B son conjuntos no congruentes.
12- Conjuntos homogéneos
Todos los elementos que componen el conjunto pertenecen a la misma categoría, género o clase. Son del mismo tipo. Ejemplo:
- B { 2, 8, 20, 100, 500 }
Todos los elementos de B son número por lo que el conjunto se considera homogéneo.
13- Conjuntos heterogéneos
Los elementos que forman parte del conjunto pertenecen a diferentes categorías. Ejemplo:
- A { z, auto, π, edificios, manzana }
No existe una categoría a la que pertenezcan todos los elementos del conjunto, por lo tanto es un conjunto heterogéneo.
Referencias
- Brown, P. et al (2011). Sets and Venn diagrams. Melbourne, University of Melbourne.
- Finite set. Recuperado de: math.tutorvista.com.
- Hoon,L. y Hoon, T (2009). Math Insights Secondary 5 Normal (Academic). Singapur, Pearson Education South Asia Pte Ld.