Gradiente de potencial: qué es, características, cálculo, ejemplo
¿Qué es el gradiente de potencial?
El gradiente de potencial es un vector que representa la relación de cambio del potencial eléctrico con respecto a la distancia en cada eje de un sistema de coordenadas cartesiano. Así, el vector gradiente de potencial indica la dirección en la que la tasa de cambio del potencial eléctrico es mayor, en función de la distancia.
A su vez, el módulo del gradiente de potencial refleja el ritmo de cambio de la variación de potencial eléctrico en una dirección particular. Si se tiene conocimiento del valor de este en cada punto de una región espacial, entonces el campo eléctrico puede obtenerse a partir del gradiente de potencial.
El campo eléctrico está definido como un vector, con lo cual tiene una dirección y una magnitud específica. Al determinar la dirección en la que el potencial eléctrico disminuye más rápidamente —alejándose del punto de referencia— y al dividir este valor por la distancia recorrida, se obtiene la magnitud del campo eléctrico.
Características del gradiente de potencial
El gradiente de potencial es un vector delimitado por coordenadas espaciales específicas, que mide la relación de cambio entre el potencial eléctrico y la distancia recorrida por dicho potencial.
A continuación se detallan las características más destacadas del gradiente de potencial eléctrico:
1- El gradiente de potencial es un vector. Por ende, tiene una magnitud y una dirección específicas.
2- Ya que el gradiente de potencial es un vector en el espacio, tiene magnitudes direccionadas en los ejes X (ancho), Y (alto) y Z (profundidad), si se toma como referencia el sistema de coordenadas cartesiano.
3- Este vector se encuentra perpendicular a la superficie equipotencial en el punto en el cual se evalúa el potencial eléctrico.
4- El vector de gradiente de potencial va dirigido hacia la dirección de máxima variación de la función de potencial eléctrico en cualquier punto.
5- El módulo del gradiente de potencial es igual a la derivada de la función de potencial eléctrico con respecto a la distancia recorrida en la dirección de cada uno de los ejes del sistema de coordenadas cartesiano.
6- El gradiente de potencial tiene valor cero en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
7- En el sistema internacional de unidades (SI), las unidades de medición del gradiente de potencial son voltios/metros.
8- La dirección del campo eléctrico es la misma en la que el potencial eléctrico disminuye su magnitud con más rapidez. A su vez, el gradiente de potencial apunta en la dirección en la cual el potencial incrementa su valor con relación a un cambio de posición. Entonces, el campo eléctrico tiene el mismo valor del gradiente de potencial, pero con signo contrario.
¿Cómo calcularlo?
La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos (punto 1 y punto 2), viene dada por la siguiente expresión:
Donde:
- V1: potencial eléctrico en el punto 1.
- V2: potencial eléctrico en el punto 2.
- E: magnitud del campo eléctrico.
- Ѳ: ángulo la inclinación del vector de campo eléctrico medido con relación al sistema de coordenadas.
Al expresar dicha fórmula de manera diferencial, se deduce lo siguiente:
El factor E*cos(Ѳ) se refiere al módulo de la componente del campo eléctrico en la dirección de dl. Sea L el eje horizontal del plano de referencia, entonces cos(Ѳ)=1, así:
En lo sucesivo, el cociente entre la variación de potencial eléctrico (dV) y la variación en la distancia recorrida (ds) es el módulo del gradiente de potencial para dicha componente.
De allí se deduce que la magnitud del gradiente de potencial eléctrico es igual al componente del campo eléctrico en la dirección de estudio, pero con el signo contrario.
Sin embargo, ya que el entorno real es tridimensional, el gradiente de potencial en un punto determinado debe expresarse como la suma de tres componentes espaciales en los ejes X, Y y Z del sistema cartesiano.
Al desglosar el vector de campo eléctrico en sus tres componentes rectangulares, se tiene lo siguiente:
Si existe una región en el plano en la cual el potencial eléctrico tenga el mismo valor, la derivada parcial de este parámetro con respecto a cada una de las coordenadas cartesianas será nula.
Así, en puntos que se encuentren sobre superficies equipotenciales, la intensidad del campo eléctrico tendrá magnitud cero.
Finalmente, el vector de gradiente de potencial puede definirse como exactamente el mismo vector de campo eléctrico (en magnitud), con signo contrario. Así, se tiene lo siguiente:
Ejemplo
De los cálculos anteriores se tiene que:
Ahora bien, antes de determinar el campo eléctrico en función del gradiente de potencial, o viceversa, debe determinarse en primer lugar cuál es la dirección en la que crece la diferencia de potencial eléctrico.
Luego de ello se determina el cociente de la variación del potencial eléctrico y la variación de la distancia neta recorrida.
De este modo se obtiene la magnitud del campo eléctrico asociado, que es igual a la magnitud del gradiente de potencial en esa coordenada.
Ejercicio
Se tienen dos placas paralelas, tal como se refleja en la siguiente figura.
Paso 1
Se determina la dirección de crecimiento del campo eléctrico sobre el sistema de coordenadas cartesiano.
El campo eléctrico crece únicamente en dirección horizontal, dada la disposición de las placas paralelas. En consecuencia, es factible deducir que las componentes del gradiente de potencial en el eje Y y el eje Z son nulas.
Paso 2
Se discriminan los datos de interés.
- Diferencia de potencial: dV = V2 – V1 = 90 V – 0 V => dV = 90 V.
- Diferencia en distancia: dx = 10 centímetros.
Para garantizar la congruencia de las unidades de medición empleadas según el Sistema Internacional de Unidades, las magnitudes que no estén expresadas en SI deben ser convertidas según corresponda. Así, 10 centímetros equivalen a 0,1 metros, y finalmente: dx = 0,1 m.
Paso 3
Se calcula la magnitud del vector gradiente de potencial según corresponda.
