Velocidad instantánea: definición, fórmula, cálculo y ejercicios
La velocidad instantánea se define como el cambio instantáneo del desplazamiento en el tiempo. Se trata de un concepto que agrega una gran precisión al estudio del movimiento. Y es un avance respecto a la velocidad media, cuya información es muy general.
Para obtener la velocidad instantánea, fijémonos en un intervalo de tiempo tan pequeño como sea posible. El cálculo diferencial es la herramienta perfecta para expresar esta idea matemáticamente.
El punto de partida es la velocidad media:
A este límite se lo conoce con el nombre de derivada. En la notación de cálculo diferencial se tiene:
Siempre que el movimiento se restringe a una línea recta, se puede prescindir de la notación vectorial.
Índice del artículo
- 1 Cálculo de la velocidad instantánea: interpretación geométrica
- 2 Algunos casos especiales en el cálculo de la velocidad instantánea
- 3 Ejercicios resueltos de velocidad instantánea
- 4 Referencias
La siguiente figura muestra la interpretación geométrica del concepto de derivada: se trata de la pendiente de la recta tangente a la curva x (t) vs. t en cada punto.
Puede imaginarse como obtener el límite si se acerca poco a poco el punto Q al punto P. Llegará un momento en que ambos puntos estén tan cerca, que se no se podrá distinguir uno del otro.
La recta que los une entonces pasará de ser secante (recta que corta en dos puntos) a ser tangente (recta que toca a la curva en un solo punto). Por tanto, para encontrar la velocidad instantánea de una partícula móvil deberíamos disponer de:
- La gráfica de la posición de la partícula en función del tiempo. Encontrando la pendiente de la recta tangente a la curva en cada instante de tiempo, se tiene la velocidad instantánea en cada punto que ocupa la partícula.
O bien:
- La función de posición de la partícula x (t), la cual se deriva para obtener la función velocidad v (t), luego se evalúa esta función en cada tiempo t, a conveniencia. Se supone que la función de posición es derivable.
-La pendiente de la recta tangente a la curva en P es 0. Una pendiente nula significa que el móvil está detenido y que su velocidad desde luego es 0.
-La pendiente de la recta tangente a la curva en P es mayor que 0. La velocidad es positiva. En la gráfica de arriba significa que el móvil se aleja de O.
-La pendiente de la recta tangente a la curva en P es menor que 0. La velocidad sería negativa. En la gráfica de arriba no existen puntos así, pero en tal caso la partícula se estaría acercando a O.
-La pendiente de la recta tangente a la curva es constante en P y todos los demás puntos. En tal caso la gráfica es una línea recta y el móvil tiene movimiento rectilíneo uniforme MRU (su velocidad es constante).
En general, la función v (t) también es una función del tiempo, la que a su vez puede tener derivada. ¿Y si no fuera posible encontrar las derivadas de las funciones x (t) y v (t)?
En el caso de x (t) podría ser que la pendiente –la velocidad instantánea- cambiara de signo bruscamente. O que pasara de cero a un valor distinto inmediatamente.
De ser así la gráfica x (t) presentaría puntas o esquinas en los sitios de los cambios bruscos. Muy diferente del caso representado en la imagen anterior, en el cual la curva x (t) es una curva suave, sin puntos, esquinas, discontinuidades o cambios abruptos.
Lo cierto es que para móviles reales, las curvas suaves son las que mejor representan el comportamiento del objeto.
El movimiento en general es bastante complejo. Los móviles pueden estar detenidos un rato, acelerar para pasar del reposo a tener una velocidad y alejarse del punto de partida, mantener la velocidad por un tiempo, luego frenar para detenerse de nuevo y así por el estilo.
De nuevo pueden arrancar otra vez y continuar en el mismo sentido. O bien accionar el retroceso y devolverse. A esto se le denomina movimiento variado en una dimensión.
A continuación algunos ejemplos del cálculo de la velocidad instantánea aclararán el uso de las definiciones dadas:
Una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta con la siguiente ley de movimiento:
x(t) = -t3 + 2 t2 + 6 t – 10
Todas las unidades están en Sistema Internacional. Encuentre:
a) La posición de la partícula en t = 3 segundos.
b) La velocidad media en el intervalo comprendido entre t = 0 s y t = 3 s.
c) La rapidez media en el intervalo comprendido entre t = 0 s y t = 3 s.
d) La rapidez instantánea de la partícula de la pregunta anterior, en t = 1 s.
Respuestas
a) Para hallar la posición de la partícula se evalúa la ley de movimiento (función de posición) en t = 3:
x (3) = (-4/3).33 + 2. 32 + 6.3 – 10 m = -10 m
No hay inconveniente en que la posición sea negativa. El signo (-) indica que la partícula se encuentra a la izquierda del origen O.
b) En el cálculo de la velocidad media se requieren las posiciones final e inicial de la partícula en los tiempos indicados: x (3) y x (0). La posición en t = 3 es x(3) y se conoce del resultado anterior. La posición en t = 0 segundos es x(0) = -10 m.
Como la posición final es la misma que la inicial, inmediatamente se concluye que la velocidad media es 0.
c) La rapidez media es la razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. Ahora bien, la distancia es el módulo o magnitud del desplazamiento, por lo tanto:
distancia = |x2 – x1| = |-10 – (-10)| m = 20 m
Obsérvese que la distancia recorrida siempre es positiva.
vm = 20 m/3 s= 6.7 m/s
d) Aquí es necesario encontrar la primera derivada de la posición respecto al tiempo. Luego se evalúa para t = 1 segundo.
x’(t) = -4 t2 + 4 t + 6
x’(1)= -4.12 + 4.1 + 6 m/s = 6 m/s
A continuación se muestra la gráfica de la posición de un móvil en función del tiempo. Encuentre la velocidad instantánea en t = 2 segundos.
Respuesta
Trace la recta tangente a la curva en t = 2 segundos, luego calcule su pendiente, tomando dos puntos cualquiera de la recta.
En este ejemplo tomaremos dos puntos que se visualizan fácilmente, cuyas coordenadas son (2 s, 10 m) y el corte con el eje vertical (0 s, 7 m):
- Giancoli, D. Physics. Principles with Applications. 6th Edition. Prentice Hall. 22- 25.
- Resnick, R. (1999). Física. Volumen 1. Tercera edición en español. México. Compañía Editorial Continental S.A. de C.V. 21-22.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 1. 7ma. Edición. México. Cengage Learning Editores. 23-25.