¿Qué son las ecuaciones simultáneas? (ejercicios resueltos)
Las ecuaciones simultáneas son aquellas ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo. Por lo tanto, para tener ecuaciones simultáneas se debe tener más de una ecuación.
Cuando se tienen dos o más ecuaciones diferentes, las cuales deben tener la misma solución (o las mismas soluciones), se dice que se tiene un sistema de ecuaciones o también se dice que se tienen ecuaciones simultáneas.
Cuando se tienen ecuaciones simultáneas puede suceder que estas no tengan soluciones comunes o tengan una cantidad finita o tengan una cantidad infinita.
Índice del artículo
Dadas dos ecuaciones diferentes Eq1 y Eq2, se tiene que el sistema de estas dos ecuaciones es llamado ecuaciones simultáneas.
Las ecuaciones simultáneas cumplen que si S es una solución de Eq1 entonces S también es solución de Eq2 y viceversa
Cuando se trata de un sistema de ecuaciones simultáneas se pueden tener 2 ecuaciones, 3 ecuaciones o N ecuaciones.
Los métodos más comunes que se utilizan para resolver ecuaciones simultáneas son: sustitución, igualación y reducción. También existe otro método llamado la regla de Cramer, el cual es muy útil para sistemas de más de dos ecuaciones simultáneas.
Un ejemplo de ecuaciones simultáneas es el sistema
Eq1: x+y=2
Eq2: 2x-y=1
Se puede notar que x=0, y=2 es solución de Eq1 pero no es solución de Eq2.
La única solución común que tienen ambas de ecuaciones es x=1, y=1. Es decir, x=1, y=1 es la solución del sistema de ecuaciones simultáneas.
A continuación se procede a resolver el sistema de ecuaciones simultáneas mostrado anteriormente, a través de los 3 métodos mencionados.
Resolver el sistema de ecuaciones Eq1: x+y=2, Eq2=2x-y=1 utilizando el método de sustitución.
Solución
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y luego sustituirla en la otra ecuación. En este caso particular, se puede despejar “y” de Eq1 y se obtiene que y=2-x.
Al sustituir este valor de “y” en Eq2 se obtiene que 2x-(2-x)=1. Por lo tanto, se obtiene que 3x-2=1, es decir que x=1.
Luego, ya que es conocido el valor de x, se sustituye en “y” y se obtiene que y=2-1=1.
Por lo tanto, la única solución del sistema de ecuaciones simultáneas Eq1 y Eq2 es x=1, y=1.
Resolver el sistema de ecuaciones Eq1: x+y=2, Eq2=2x-y=1 utilizando el método de igualación.
Solución
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y luego igualar las ecuaciones resultantes.
Despejando “x” de ambas ecuaciones se obtiene que x=2-y, y que x=(1+y)/2. Ahora, se igualan estas dos ecuaciones y se obtiene que 2-y = (1+y)/2, de donde resulta que 4-2y=1+y.
Agrupando la incógnita “y” de una mismo lado resulta que y=1. Ahora que ya se conoce “y” se procede a encontrar el valor de “x”. Al sustituir y=1 se obtiene que x=2-1=1.
Por lo tanto, la solución común entre las ecuaciones Eq1 y Eq2 es x=1, y=1.
Resolver el sistema de ecuaciones Eq1: x+y=2, Eq2=2x-y=1 utilizando el método de reducción.
Solución
El método de reducción consiste en multiplicar las ecuaciones dadas por los coeficientes adecuados, para que al sumar estas ecuaciones una de las variables se cancele.
En este ejemplo particular no hace falta multiplicar ninguna ecuación por ningún coeficiente, solo basta sumarlas. Al sumar Eq1 más Eq2 se obtiene que 3x=3, de donde se obtiene que x=1.
Al evaluar x=1 en Eq1 se obtiene que 1+y=2, de donde resulta que y=1.
Por lo tanto, x=1, y=1 es la única solución de las ecuaciones simultáneas Eq1 y Eq2.
Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas Eq1: 2x-3y=8 y Eq2: 4x-3y=12.
Solución
En este ejercicio no se exige ningún método particular, por lo tanto se puede aplicar el método que resulte más cómodo para cada lector.
En este caso se procederá a utilizar el método de reducción. Al multiplicar Eq1 por -2 se obtiene la ecuación Eq3: -4x+6y=-16. Ahora, al sumar Eq3 y Eq2 se obtiene que 3y=-4, por lo tanto y=-4/3.
Ahora, al evaluar y=-4/3 en Eq1 se obtiene que 2x-3(-4/3)=8, de donde 2x+4=8, por lo tanto, x=2.
En conclusión, la única solución del sistema de ecuaciones simultáneas Eq1 y Eq2 es x=2, y=-4/3.
Los métodos descritos en este artículo pueden aplicarse a sistemas con más de dos ecuaciones simultáneas. Mientras más ecuaciones y más incógnitas haya, el procedimiento para resolver el sistema es más complicado.
Cualquier método de resolución de sistemas de ecuaciones arrojará las mismas soluciones, es decir, las soluciones no dependen del método que se aplique.
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