Principio aditivo: en qué consiste y ejemplos
El principio aditivo es una técnica de conteo en probabilidad que permite medir de cuántas maneras se puede realizar una actividad que, a su vez, tiene varias alternativas para ser realizada, de las cuales se puede elegir solo una a la vez. Un ejemplo clásico de esto es cuando se quiere escoger una línea de transporte para ir de un lugar a otro.
En este ejemplo, las alternativas corresponderán a todas las líneas de transporte posibles que cubran el recorrido deseado, bien sea aéreas, marítimas o terrestres. No podemos ir a un lugar usando dos medios de transporte simultáneamente; es necesario que elijamos solo uno.
El principio aditivo nos dice que la cantidad de maneras que tenemos para realizar este viaje corresponderá a la suma de cada alternativa (medio de transporte) posible que exista para ir al lugar deseado, esto incluirá aun los medios de transporte que hagan escala en algún lugar (o lugares) intermedio.
Obviamente, en el ejemplo anterior siempre escogeremos la alternativa más cómoda y que más se ajuste a nuestras posibilidades, pero probabilísticamente es de suma importancia conocer de cuántas maneras se puede realizar un evento.
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De manera general, la probabilidad es el campo de las matemáticas que se encarga de estudiar sucesos o fenómenos y experimentos aleatorios.
Un experimento o fenómeno aleatorio es una acción que no siempre arroja los mismos resultados, incluso si se realiza con las mismas condiciones iniciales, sin alterar nada en el procedimiento inicial.
Un ejemplo clásico y sencillo para entender en qué consiste un experimento aleatorio es la acción de lanzar una moneda o un dado. La acción siempre será la misma, pero no siempre obtendremos “cara” o un “seis”, por ejemplo.
La probabilidad se encarga de proporcionar técnicas para determinar con qué frecuencia puede ocurrir un suceso aleatorio determinado; entre otras intenciones, la principal es predecir posibles eventos futuros que son inciertos.
De manera más particular, la probabilidad de que un evento A ocurra es un número real entre cero y uno; es decir, un número perteneciente al intervalo [0,1]. Se denota por P(A).
Si P(A)=1, entonces la probabilidad de que ocurra el evento A es del 100%, y si es cero no existe posibilidad alguna de que ocurra. El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados que se pueden obtener realizando un experimento aleatorio.
Existen al menos cuatro tipos o conceptos de probabilidad, dependiendo del caso: probabilidad clásica, probabilidad frecuentista, probabilidad subjetiva y probabilidad axiomática. Cada uno se enfoca diferentes casos.
La probabilidad clásica abarca el caso en el que el espacio muestral tiene una cantidad finita de elementos.
En este caso, la probabilidad de que ocurra un evento A será la cantidad de alternativas que se tienen para obtener el resultado deseado (es decir, la cantidad de elementos del conjunto A), dividido entre la cantidad de elementos del espacio muestral.
Aquí se debe considerar que todos los elementos del espacio muestral deben ser igualmente probables (por ejemplo, como un dado que no esté alterado, en el que la probabilidad de obtener cualquiera de los seis números es la misma).
Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número impar? En este caso el conjunto A estaría formado por todos los números impares que hay entre 1 y 6, y el espacio muestral estaría compuesto por todos los números del 1 al 6. Entonces, A tiene 3 elementos y el espacio muestral tiene 6. Por lo tanto, P(A)=3/6=1/2.
Como se dijo anteriormente, la probabilidad mide la frecuencia con la que un cierto evento ocurra. Como parte de poder determinar esta frecuencia, es importante conocer de cuántas formas dicho evento puede ser realizado. El principio aditivo nos permite hacer este cálculo en un caso particular.
El principio aditivo establece lo siguiente: Si A es un evento que tiene “a” maneras de ser realizado, y B es otro evento que tiene “b” maneras de ser realizado, y si además solo puede ocurrir A o B y no ambos al mismo tiempo, entonces las maneras de ser realizado A o B (A∪B) son a+b.
En general, esto se establece para la unión de una cantidad finita de conjuntos (mayor o igual que 2).
Si una librería vende libros de literatura, biología, medicina, arquitectura y química, de los cuales posee 15 tipos diferentes de libros de literatura, 25 de biología, 12 de medicina, 8 de arquitectura y 10 de química, ¿cuántas opciones tiene una persona para escoger un libro de arquitectura o un libro de biología?
El principio aditivo nos dice que la cantidad de opciones o maneras de hacer esta elección es 8+25=33.
Este principio también se puede aplicar en el caso de que sea un único evento el involucrado, que a su vez tenga diferentes alternativas para ser realizado.
Supongamos que se quiere realizar cierta actividad o evento A, y que existen varias alternativas para ello, digamos n.
A su vez, la primera alternativa tiene a1 maneras de ser realizada, la segunda alternativa tiene a2 maneras de ser realizada, y así sucesivamente, la alternativa número n se puede realizar de an maneras.
El principio aditivo establece que el evento A se puede realizar de a1+ a2+…+ an maneras.
Supongamos que una persona quiere comprar un par de zapatos. Cuando llega a la zapatería encuentra solamente dos modelos diferentes de su talla de calzado.
De uno hay dos colores disponibles, y del otro cinco colores disponibles. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de realizar esta compra? Por el principio aditivo la respuesta es 2+5=7.
El principio aditivo se debe usar cuando se quiera calcular la manera de realizar un evento u otro, no ambos simultáneamente.
Para calcular las diferentes formas de realizar un evento junto (“y”) con otro —es decir, que ambos eventos deban ocurrir de manera simultánea— se usa el principio multiplicativo.
El principio aditivo también puede interpretarse en términos de probabilidad de la siguiente manera: la probabilidad de que ocurra un evento A o un evento B, lo cual se denota por P(A∪B), sabiendo que no puede ocurrir A simultáneamente a B, viene dada por P(A∪B)= P(A)+ P(B).
¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado o cara al lanzar una moneda?
Según lo visto anteriormente, en general la probabilidad de obtener un número cualquiera al lanzar un dado es 1/6.
En particular, la probabilidad de obtener un 5 también es 1/6. Análogamente, la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 1/2. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta anterior es P(A∪B)=1/6+1/2=2/3.
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