Conjuntos equivalentes: qué son, explicación, ejemplos
A un par de conjuntos se les llama “conjuntos equivalentes” si estos tienen la misma cantidad de elementos. Matemáticamente, la definición de conjuntos equivalentes es: dos conjuntos A y B son equivalentes, si estos tienen la misma cardinalidad, es decir, si |A|=|B|.
Por lo tanto, no importa cuáles sean los elementos de los conjuntos, pueden ser letras, números, símbolos, dibujos o cualquier otro objeto.
Además, el que dos conjuntos sean equivalentes no implica que los elementos que conforman cada conjunto se relacionen unos con otros, solo significa que el conjunto A tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto B.
Conjuntos equivalentes
Antes de trabajar con la definición matemática de conjuntos equivalentes, se debe definir el concepto de cardinalidad.
Cardinalidad: el cardinal (o cardinalidad) indica el número o la cantidad de elementos de un conjunto. Este número puede ser finito o infinito.
Relación de equivalencia
La definición de conjuntos equivalentes descrita en este artículo es realmente una relación de equivalencia.
Por lo tanto, en otros contextos, decir que dos conjuntos sean equivalentes puede que tenga otro significado.
Ejemplos de conjuntos equivalentes
A continuación se presenta una pequeña lista de ejercicios sobre conjuntos equivalentes:
1.- Considere los conjuntos A={0} y B={-1239}. ¿Son A y B equivalentes?
La respuesta es si, ya que tanto A como B solo constan de un elemento. No importa que los elementos no tengan ninguna relación.
2.- Sean A={a,e,i,o,u} y B={23, 98, 45, 661, -0.57}. ¿Son A y B equivalentes?
Nuevamente, la respuesta es si, pues ambos conjuntos poseen 5 elementos.
3.- ¿Pueden A={-3, a ,*} y B={+, @, 2017} ser equivalentes?
La respuesta es si, ya que ambos conjuntos tienen 3 elementos. Se puede notar en este ejemplo que no es necesario que los elementos de cada conjunto sean del mismo tipo, es decir, solo números, solo letras, solo símbolos…
4.- Si A={-2, 15, / } y B={c, 6, &, ?}, ¿son A y B equivalentes?
La respuesta en este caso es No, ya que el conjunto A tiene 3 elementos mientras que el conjunto B tiene 4 elementos. Por lo tanto, los conjuntos A y B no son equivalentes.
5.- Sean A={balón, zapato, gol} y B={casa, puerta, cocina}, ¿Son A y B equivalentes?
En este caso la respuesta es si, pues cada conjunto esta formado por 3 elementos.
Observaciones
Un hecho importante en la definición de conjuntos equivalentes es que se puede aplicar a más de dos conjuntos. Por ejemplo:
-Si A={piano, guitarra, música}, B={q, a, z} y C={8, 4 ,-3}, entonces A, B y C son equivalentes pues los tres poseen la misma cantidad de elementos.
-Sean A={-32,7}, B={?, q, &}, C={12, 9, $} y D{%, *}. Entonces los conjuntos A, B, C y D no son equivalentes, pero B y C si son equivalentes, así como A y D.
Otro hecho importante con el que se debe estar atento es que en un conjunto de elementos donde el orden no importe (todos los ejemplos anteriores), no pueden haber elementos repetidos. Si los hubiera, solo basta colocarlo una sola vez.
Así, el conjunto A={2, 98, 2} se debe escribir como A={2, 98}. Por tanto, se debe tener cuidado cuando se vaya a decidir si dos conjuntos son equivalentes, pues se pueden presentar casos como el siguiente:
Sean A={3, 34, *, 3, 1, 3} y B={#, 2, #, #, m, #, +}. Se puede cometer el error de decir que |A|=6 y |B|=7, y, por tanto, concluir que A y B no son equivalentes.
Si se reescriben los conjuntos como A={3, 34, *, 1} y B={#, 2, m, +}, entonces se puede ver que A y B si son equivalentes, pues ambos tienen la misma cantidad de elementos (4).